next up previous contents
Next: ΡΥΘΜΟΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ Up: ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Previous: ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ   Contents

Λύσεις Μη Γραμμικών Εξισώσεων

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων πάντα έχει μία μοναδική λύση εκτός και αν ο πίνακας του συστήματος είναι ιδιάζον. Ο καθορισμός της ύπαρξης και της μοναδικότητας των λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων είναι συχνά πολύ πιο πολύπλοκος και δύσκολος, και είναι δυνατόν να υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι συμπεριφοράς. Οι καμπύλες μπορεί να τέμνονται, ή να μην τέμνονται, κατά πολύ περισσότερους τρόπους από τις ευθείες. Για παράδειγμα, σε αντίθεση με τις ευθείες, δύο καμπύλες μπορεί να εφάπτονται χωρίς να ταυτίζονται. Ενώ για τα συστήματα των γραμμικών εξισώσεων το πλήθος των λύσεων είναι μηδέν, μία ή άπειρες, το πλήθος των λυσεων των μη γραμμικών εξισώσεων μπορεί να είναι οποιοδήποτε.


27#27

Παράδειγμα 5.2   ΛΥΣΕΙΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.

Για παράδειγμα:


27#27

Ακόμα, μία μη γραμμική εξίσωση μπορεί να έχει μια πολλαπλή ρίζα, για την οποία τόσο η συνάρτηση όσο και η παράγωγός της είναι μηδέν, π.χ., 1041#1041 και 1042#1042 Στη μία διάσταση, αυτή η ιδιότητα σημαίνει οτι η καμπύλη έχει μία οριζόντια εφαπτομένη στον άξονα των 33#33 Αν 1043#1043 και 1044#1044 τότε η 33#33 λέγεται απλή ρίζα.


27#27

Παράδειγμα 5.3   ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΡΙΖΕΣ.

Παραδείγματα εξισώσεων που έχουν πολλαπλές ρίζες συμπεριλαμβάνουν και τα

1045#1045 και 1046#1046,

τα οποία παρουσιάζονται στο σχήμα 5.1


27#27

Τί εννοούμε όταν μιλάμε για μία κατάλληλη λύση 47#47 ενός μη γραμμικού συστήματος,


1047#1047

,

όπου 1048#1048 είναι η "πραγματική" λύση στο 1043#1043; Η πρώτη περίπτωση αντιστοιχεί σε ένα μικρό υπόλοιπο, ενώ η δεύτερη μετράει το πόσο κοντά βρίσκεται αυτή η λύση στην (συνήθως γνωστή) πραγματική λύση. Όπως και στα γραμμικά συστήματα, αυτά τα δύο κριτήρια για τη λύση δεν είναι απαραίτητο να είναι ταυτοχρόνως "μικρά".

Figure: Μη γραμμικές εξισώσεις που έχουν μία πολλαπλή ρίζα.
1049#1049

LEIPEI MEXRI TO 5.1.2 (h prvth paragrafos ths sel 151)



Manolis Vavalis 2000-03-24