Ανάλυση I

(Τμήμα A: A-Mα)

Χειμερινό Εξάμηνο 2019

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.


Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη και Πέμπτη 9-11 στο Αμφ Α201.

Ώρες ασκήσεων: Παρασκευή 1-3 στο Αμφ Α201.

Κύριο Σύγγραμμα: Σημειώσεις Μ. Παπαδημητράκη εδώ (Κεφάλαια 1-5 και 8).

Βοηθητικά Συγγράμματα: Σημειώσεις Θ. Μήτση εδώ (Κεφάλαια 1-6).
Σημειώσεις Α. Γιαννόπουλου εδώ (Κεφάλαια 1-5) και εδώ (Κεφάλαια 1-2).

Γραφείο: Γ 307.

Ώρες γραφείου: Τρίτη 11-1.

Βαθμολογία: Πρόοδος (35%, 21 Νοεμβρίου) και τελικό διαγώνισμα (65%, 20 Ιανουαρίου). Και τα δύο θα είναι διαγωνίσματα ανάπτυξης.

Ύλη (από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη): Πραγματικοί αριθμοί (Κεφ 1), ακολουθίες και όρια ακολουθιών (Κεφ 2), σειρές αριθμών (Κεφ 8), όρια συναρτήσεων (Κεφ 3), συνεχείς συναρτήσεις (Κεφ 4), παράγωγοι συναρτήσεων (Κεφ 5).

Ανακοινώσεις

27/9: H πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Πέμπτη 21 Νοεμβρίου ώρα 17:00-19:30. Το διαγώνισμα θα είναι ανάπτυξης και η εξεταστέα ύλη θα περιλαμβάνει όλες τις ενότητες που θα έχουμε καλύψει μέχρι τότε.

17/10: Την επόμενη εβδομάδα τα μαθήματα (22, 24, 25 Οκτωβρίου) δεν θα γίνουν λόγω απουσίας του διδάσκοντα (θα αναπληρωθούν αργότερα).

22/11: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ.

27/11: Τις υπόλοιπες Παρασκευές θα κάνουμε 3 ώρες (1-4).

1/12: Τα αποτελέσματα της προόδου είναι εδώ. Όσοι θέλετε να δείτε το γραπτό σας μπορείτε να περάσετε από το γραφείο μου την Τρίτη 3/12 στις 11:00-13:00.

5/12: Το τελικό διαγώνισμα θα πραγματοποιηθεί την Δευτέρα 20 Ιανουαρίου ώρα 9:00-12:00. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες που έχουμε καλύψει με έμφαση στην ύλη που καλύψαμε μετά την πρόοδο.


Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις

1η Εβδομάδα (24, 26, 27 Σεπτεμβρίου): Οι πραγματικοί αριθμοί, ιδιότητα συνέχειας, ακέραιο μέρος, πυκνά σύνολα, φραγμένα σύνολα, supremum και infimum συνόλων. Ασκήσεις στα προηγούμενα. Παράγραφοι 1.2, 1.3 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα: Παράγραφος 1.2: 9-16, Παράγραφος 1.3: 2-5. Αν θέλετε να επωφεληθείτε ουσιαστικά μην κοιτάτε τις λύσεις πριν προσπαθήσετε να τις λύσετε μόνοι σας.

2η Εβδομάδα (1, 3, 4 Οκτωβρίου): Ύπαρξη τετραγωνικής ρίζας θετικού αριθμού, δυνάμεις και λογάριθμοι, φραγμένες και μονότονες ακολουθίες, η έννοια του "τελικά", ορισμός ορίου ακολουθιών και παραδείγματα. Ασκήσεις στα προηγούμενα. Παράγραφοι 2.1, 2.2 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα: Παράγραφος 2.1: 6-9, Παράγραφος 2.2: 1, 6-9, Παράγραφος 2.3: 38, 39, 41 (α)-(γ).

3η Εβδομάδα (8, 10, 11 Οκτωβρίου): Βασικές ιδιότητες ορίων, κριτήριο σύγκρισης, πράξεις με όρια, απροσδιόριστες μορφές, κριτήριο λόγου, βασικά όρια. Ασκήσεις στα προηγούμενα. Παράγραφος 2.3 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα: Παράγραφος 2.3: 1, 4-6, 8-14, 17-22.

4η Εβδομάδα (15, 17, 18 Οκτωβρίου): Ορια μονότονων ακολουθιών και εφαρμογές, όρια ακολουθιών που ορίζονται αναδρομικά, υποακολουθίες, κριτήριο απόκλισης, θεώρημα Bolzano-Weierstrass. Ασκήσεις στα προηγούμενα. Παράγραφοι 2.4 και 2.5 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα: Παράγραφος 2.4: 1, 8, 10, 13, 14, Παράγραφος 2.5: 1, 2, 4, 7, 10, 12-16.

5η Εβδομάδα (29, 31 Οκτωβρίου, 1 Νοεμβρίου): Ακολουθίες Cauchy, η ιδιότητα της πληρότητας, άνω όριο και κάτω όριο ακολουθίας, βασικές ιδιότητες και παραδείγματα, χαρακτηρισμός άνω (κάτω) ορίου ακολουθίας ως μέγιστου (ελάχιστου) υποακολουθιακού ορίου. Ασκήσεις στα προηγούμενα. Παράγραφοι 2.6 και 2.7 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα: Παράγραφος 2.6: 1-4, Παράγραφος 2.7: 1, 2, 5, 6, 7, 16, 17, 18.

6η Εβδομάδα (5, 7 Οκτωβρίου, 8 Νοεμβρίου): Σειρές αριθμών, ορισμοί παραδείγματα και βασικές ιδιότητες, κριτήριο Cauchy για σειρές, απόλυτη σύγκλιση, σειρές με μη αρνηρικούς όρους, κριτήριο σύγκρισης και οριακό κριτήριο σύγκρισης, παραδείγματα. Ασκήσεις στα προηγούμενα. Παράγραφοι 8.1, 8.2 (307-309) και 8.3 (321-322) από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα: Παράγραφος 8.1: 5, 6, Παράγραφος 8.2: 2, 3, 15, 16, 17, 20 (α).

7η Εβδομάδα (12, 14, 15 Νοεμβρίου): Κριτήριο λόγου, κριτήριο ρίζας, κριτήριο ολοκληρώματος, κριτήριο συμπύκνωσης, κριτήριο εναλλασσόμενων προσήμων, κριτήριο Dirichlet-Abel, παραδείγματα. Ασκήσεις στα προηγούμενα. Παράγραφοι 8.2 (310-313) και 8.3 (323-327) από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα: Παράγραφος 8.2: 6, 9, 10, 11, 12, Παράγραφος 8.3: 1, 2, 6, 7, 15, 17, 19, 30.

8η Εβδομάδα (19, 21, 22 Νοεμβρίου): Όρια συναρτήσεων, πλευρικά όρια, παραδείγματα υπολογισμών ορίων κάνοντας χρήση του ορισμού, επαναληπτικές ασκήσεις για την πρόοδο, λύση ασκήσεων προόδου. Παράγραφος 3.2 (81-87) από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα: Παράγραφος 3.2: 1-4.

9η Εβδομάδα (16, 28, 29 Νοεμβρίου): Πράξεις και ιδιότητες ορίων συναρτήσεων, όρια συναρτήσεων και ακολουθίες, παραδείγματα βασικών ορίων, κριτήριο Cauchy για συναρτήσεις, όρια μονότονων συναρτήσεων, άνω όριο και κάτω όριο συνάρτησης και σχετικά θεωρήματα. Ασκήσεις στα προηγούμενα. Παράγραφοι 3.3 (88-103), 3.4 (100-105), 3.5 (108-110), και 3.6 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα: Παράγραφος 3.3: 5, 9, 10, 12, 13, 20-23, 28, Παράγραφος 3.4: 3, 4, Παράγραφος 3.5: 1, Παράγραφος 3.6: 1.

10η Εβδομάδα (3, 5, 6 Δεκεμβρίου): Συνεχείς συναρτήσεις, είδη ασυνεχειών, ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων, συνεχείς συναρτήσεις και ακολουθίες. Τα τρία βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων (φραγμένης συνάρτησης, μεγίστου-ελαχίστου, ενδιάμεσης τιμής), σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης και αντίστροφη συνάρτηση. Ασκήσεις στα προηγούμενα. Παράγραφοι 4.1-4.5 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα: Παράγραφος 4.1: 4, 6, 9, 11, 12, Παράγραφος 4.2: 6-11, Παράγραφος 4.3: 1, 4, Παράγραφος 4.4: 3-11, 14, 19, Παράγραφος 4.5: 2, 3, 5, 9, 12, 13.