ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ

ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Εαρινό 2017

· Διδάσκων: Παναγιώτης Χατζηπαντελίδης, Γραφείο: E 318, Τηλ.: 2810-393871

· E-mail : p.chatzipa AT uoc dot gr, URL: http://www.math.uoc.gr/~chatzipa

· Ώρες γραφείου: Τρίτη 11:00πμ - 1:00μμ ή με ραντεβού

· Ώρα και αίθουσα διδασκαλίας: Τρίτη και Παρασκευή 9:00πμ - 11:00πμμμ στη Β 214

Περιγραφή μαθήματος.

1. Στοιχεία θεωρίας χώρων Hilbert: Θεώρηµα αναπαράστασης του Riesz. Λήµµα

Lax-Milgram. Λήµµα του Cea.

2. Χώροι Sobolev: Γενικευµένες παράγωγοι. Θεωρήµατα εµφύτευσης.

Ανισότητες Sobolev. Θεωρήµατα ίχνους. Αρνητικές νόρµες, δυϊκότητα.

3. Προσέγγιση συναρτήσεων σε χώρους Sobolev:

3.1 Πολυωνυµικοί χώροι

3.2 Averaging πολυώνυµα Taylor

3.3 Αναπαράσταση σφάλµατος

3.4 Εκτίµηση σφάλµατος παρεµβολής

3.4 Αντίστροφες εκτιµήσεις.

4. Κατασκευή χώρων πεπερασµένων στοιχείων: κατασκευή χώρων

πεπερασµένων στοιχείων αποτελούµενους από τµηµατικά πολυωνυµικές

συναρτήσεις πάνω σε τριγωνικές και τετραγωνικές διαµερίσεις χωρίων

(Lagrange, Hermite, τανυστικά γινόµενα).

5. Πρόσεγγιση της λύσης ελλειπτικών εξισώσεων: Η µεταβολική µορφή και η

µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων για 1D και 2D ελλειπτικά προβλήµατα

συνοριακών τιµών. Εκτίµηση σφάλµατος για τη µέθοδο πεπερασµένων

στοιχείων.

6. Προσέγγιση της λύσης παραβολικών εξισώσεων: Προσέγγιση της λύσης

παραβολικών προβληµάτων αρχικών τιµών και συνοριακών συνθηκών:

ηµιδιακριτό πρόβληµα, µέθοδος πεπλεγµένη Euler/πεπερασµένων στοιχείων,

µέθοδος Crank-Nicolson/πεπερασµένων στοιχείων και άµεση µέθοδος

Euler/πεπερασµένων στοιχείων.

Διδακτικές σημειώσεις.

2. S.C. Brenner και L.R. Scott : The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer-Verlag, 1994

3. V. Thomee: Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems, Springer-Verlag, 1997

Βαθμολογία.

Η βαθμολογία σας θα καθοριστεί από ασκήσεις που θα παραδίδεται και από

ένα συσσωρευτικό τελικό διαγώνισμα.

Ηράκλειο,

Παναγιώτης Χατζηπαντελίδης