Ασκήσεις-3

1) Αλλοιώνοντας ελαφρά τις συναρτήσεις (fft, fftr, ffbell ) του 5ου μαθήματος φτιάξτε μιά συνάρτηση που μηδενίζεται εκτός του διαστήματος [a,b] και μέσα στο διάστημα είναι συνεχής και έχει την ίδια μορφή κουδουνιού με την ffbell.

2) Βρείτε τα όρια των ακολουθιών :

a:=n->sqrt(n+1)-sqrt(n); n=infinity

a:=n->2^n/n!;

a:=n->(-1)^(n-1)/(2*n-1);

a:=n->(1+1/n)^n;

a:=n->2^n/n!;

a:=n->n!/n^n;

a:=n->2^n*n!/(3*n)^n;

a:=n->sqrt(n)*(sqrt(n+1)-sqrt(n));

a:=n->(1+sin(n))/n;

a:=n->sum(1/sqrt(n^2+k),k=1..n);

Η επόμενη εντολή σχεδιάζει την καμπύλη που σε πολικές συντεταγμένες δίδεται από τον τύπο r(φ)=2φ. Γενκώτερα r(φ)=Aφ, όπου Α σταθερά είναι η σπείρα του Αρχιμήδη.

> plot( 2*phi, phi=1..100, coords=polar, scaling=CONSTRAINED);

3) Χρησιμοποιήστε την ίδια εντολή για να σχεδιάσετε τις καμπύλες

3.1) r = a(1-cosφ), καρδιοειδής.

3.2) r = a^2(cos2φ) , λιμνίσκος

3.3) r = a/φ, υπερβολική σπείρα

3.4) r = a(1+2cosφ), λιμνίσκος του Pascal

3.5) r = asin(bφ),

3.6) r = A+Bcos(Cφ), γιά διάφορες ακέραιες θετικές τιμές των Α,Β,C.

4) Aνατρέχοντας στα μαθήματα, βρες τις εντολές που επιτρέπουν τον σχεδιασμό των καμπυλών:

4.1) 3y - 4x^3 = 0, κυβική παραβολή

4.2) y^2 - x^3 = 0, ημικυβική παραβολή

4.3) y^2 - x(x-4)^2 = 0,

4.4) x^(2/3) + y^(2/3) - a^(2/3) = 0, ισόπλευρη αστροειδής

4.5) (x/a)^(2/3) + (y/a)^(2/3) -1 = 0, ανισόπλευρη αστροειδής.

4.6) y^2(a-x) - x^3 = 0, κισσοειδής

4.7) y(x^2+4a^2) - 8a^3 = 0,

4.8) x^3+y^3 -3axy = 0, φύλλο του Καρτέσιου

5) Βρες τα όρια των επομένων παραστάσεων:

> sqrt(x^2+3x)-x , γιά x = infinity

> 1/(x-1) - 2/(x^2-1), γιά x = 1

> sqrt(x^2+x+1)-sqrt(x^2-x) γιά x = infinity

> (1/sin(x)^2) - 1/(4sin(x/2)^2) γιά x=0

> ((1+2+...+2n-1)/(n+3))-n) γιά n= infinity

> (x-pi/2)*tan(x) γιά x = pi/2

> (sin(1-x)/(sqrt(x)-1) γιά x = 1

> (3x^4/(1-2*x^4) - 2^(1/x)) γιά x = infinity

6) Βρες τα σημεία ασυνεχείας και σχεδιάσε τις συναρτήσεις

6.1) y = 1/(1+2^(1/x))

6.2) y = arctan(a/(x-a))

6.3) y = (x^3-x^2)/abs(x-1)

6.4) y = 2 - (abs(x)/x)

6.5) y = 2^(1/(x-2))

6.6) y = 1 - 2^(1/x)

6.7) y = (x^3 + x)/(2abs(x))

6.8) y = (4 -x^2)/abs(4x-x^3)

7) Kατασκεύασε συνάρτηση της οποίας το γράφημα να έχει την μορφή: