Ασκήσεις-4

1) Βρείτε τις παραγώγους 1ης, 2ης και 3ης τάξεως, των συναρτήσεων:

> f1(x):=X^3; f2(x):=sqrt(x); f3(x):= 1/sqrt(x); f4(x):= tan(x);

> f5(x):=sqrt(1+2*x); f6(x):= sqrt(1+x^2); f7(x):=cos(x)/x^2; f8(x):=tan(x)/sqrt(x); f9(x):=cos(x)/(1-sin(x));f10(x):=cos(x)/(1+2*sin(x));

Οι επόμενες εντολές ορίζουν μία ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία:

> with(plottools):
L := line([0,0], [3,4], color=red, linestyle=3);
plots[display](L);

2) Χρησιμοποιήστε αυτές τις εντολές γιά να βρείτε το γράφημα και την εφαπτόμενη ευθεία σε κάποιο σημείο της αρεσκείας σας γιά κάθε μία από τις συναρτήσεις του 1). Αν υποθέσομε ότι διαλέγετε το (x0,y0=f(x0)) σαν πρώτο σημείο της εφαπτομένης το (x1,y1) = (x0,y0) + (1, D(f)(x0)) είναι ένα δεύτερο σημείο της εφαπτόμενης. Γιατί;

3) Οι εντολές

> with(student): minimize(1+x^2, location); maximize(3*x-x^2, location);

βρίσκουν μέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων. Εφαρμόστε αυτές τις εντολές σε κάθε μία από τις συναρτήσεις του 1) και βρήτε τις τιμές γιά τις οποίες οι συναρτήσεις γίνονται μέγιστες/ελάχιστες. Κατόπιν σχεδιάστε την γραφική παράσταση γύρω από τα σημεία μεγίστου/ελαχίστου και την εφαπτόμενη σ αυτά. Δείτε ότι η εφαπτόμενη είναι οριζόντια.

4) Σκεφθήτε μιά άλλη μέθοδο εύρεσης μεγίστων και ελαχίστων χρησιμοποιώντας την πρώτη παράγωγο και την solve. Eφαρμόστε αυτήν την δεύτερη μέθοδο στις συναρτήσεις του 1) και βρείτε τα μέγιστα/ελάχιστά τους.

5) Γιά κάθε μιά από τις συναρτήσεις του 1) σχεδιάστε ταυτόχρονα α) την συνάρτηση β) την πρώτη γ) την δεύτερη παράγωγο. Βλέποντας τις τρείς γραφικές παραστάσεις, συμπεράνατε τις ιδιότητες της συνάρτησης και των δύο πρώτων παραγώγων της στα σημεία μεγίστου και ελαχίστου.

6) Ορίστε ένα πολυώνυμο Ν βαθμού και βρήτε την 1η, 2η, 3η, ... , Ν-στή παράγωγό του. Υπολογίστε την παράγωγο αυτή στο 0 και εκφράστε τους συντελεστές του πολυωνύμου με την βοήθεια αυτών των παραγώγων.

7) Περιγράψτε τι κάνουν οι επόμενες εντολές. Χρησιμοποιήστε ανάλογες εντολές γιά να βρήτε τις 1η, 2η, ... , Νή παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων, στην θέση x=0.

restart; f(x):=exp(-x); g:= (y,n)->eval(diff(f(x),x$n),x=y); evalf(g(1,1));

> f1(x):=1/(1+x^2); f2(x):=x*cos(x); f3(x):=exp(-x^2);