Ασκήσεις-5

1) Βρείτε τα αόριστα ολοκληρώματα των επομένων συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τις εντολές:

integrate ή ισοδύναμα int:

> integrate( x^2/(x^3+x^2+x+1), x ); # ανάλογα και τα υπόλοιπα:

> 1/cos(x)^2;

> 1/(1+x^2);

> (x-2)/x^3;

> (x^2+1)^2/x^3;

> sqrt(x)+x^(1/3);

> (x-1)/x^(2/3);

> cos(2*x)/(cos(x)^2*sin(x)^2);

> x^4/(1+x^2);

> (x-2)/x^(1/3);

> exp(x)*(1+exp(-x)/cos(x)^2);

> (1-sin(x)^3)/sin(x)^2;

> tan(x)^2;

> 1/cos(5*x)^2;

>

>

2. Προσδιόρισε τα ολοκληρώματα, και επαλήθευσε παραγωγίζοντας:

> cot(x);

> 1/(x*(1+ln(x)));

> (x^3-8)^(1/3);

> x^2/(1+x^2)^(1/3);

> exp(sin(x))*cos(x);

> x^4/(x^2-3);

> 1/sqrt(2+3*x-2*x^2);

>

3. Η επόμενη μέθοδος είναι ανάλογος της του μαθήματος-7, και προσδιορίζει με την βοήθεια αναδρομικού τύπου την ακολουθία των αορίστων ολοκληρωμάτων s:= n->Int(sin(x)^n, x);

> with(student):

> s:= n->Int(sin(x)^n, x); # το ολοκλήρωμα εξαρτάται από το n

> intparts(s(n),sin(x)^(n-1)); # oλοκλήρωση κατά μέρη

> subs(cos(x)^2=1-sin(x)^2,%); # αντικατάσταση cos^2 ...

> expand(%);

> simplify(%,power);

> subs(s(n)=k(n),s(n-2)=k(n-2),%); # τυπική ακολουθία k(n)

> solve(k(n)=%,k(n)); # όλο αυτό είναι το k(n) ...

> collect(%,k(n-2));

> k:=unapply(%,n); # αναδρομική ακολουθία k(n)

> k(0):=value(s(0)); k(1):=value(s(1));

> k(6); # υπολογισμός γιά n=6 ...

>

>

Yπολόγισε ανάλογα τα αόριστα ολοκληρώματα :

> c:= n->Int(cos(x)^n, x);

> d:=n->Int(cos(x)^n*exp(x),x);

>

>

4. Yπολόγισε τα ορισμένα ολοκληρώματα στο διάστημα που δίδεται μαζί με τον αντίστοιχο τύπο:

> sqrt(x), 1..4;

> sqrt(4-x^2), 0..1;

> 1/(1+sqrt(2*x+1)), 0..4;

> x*(cos(x)), 0..Pi/2;

> tan(x)^3, 0..Pi/4;

>