Mάθημα 4 : καμπύλες

> restart; A:=[a1,a2]; # ξεκινάμε για παραμετρική παράσταση έλλειψης

> a1:=1; a2:=1; # κύκλος πρώτα

> f1:= z->a1*cos(z); f2:= z->a2*sin(z); # κύκλος .... πρώτα

> myplot := [f1(z),f2(z), z=0..12];

> plotConditions := color=magenta, style=line, thickness = 3,scaling=CONSTRAINED ;

> plot( myplot ,plotConditions);

> a1:=4; a2:=2; subs(a1=a1,f1); subs(a2=a2,f2); # ελλειψη όταν τα a1, a2 είναι διαφορετικά ...

> plot( [f1(z),f2(z), z=0..12] , plotConditions); # ποιά σημασία έχουν τα a1, a2;

> a1:=8; a2:=3; subs(a1=a1,f1); subs(a2=a2,f2); # αλλη ελλειψη ...

> plot( [f1(z),f2(z), z=0..12] , plotConditions);

Στην συνέχεια ορίζω μιά συνάρτηση F του επιπέδου στον εαυτό του. Η συνάρτηση αυτή απεικονίζει κάθε σημείο του επιπέδου

(x,y) σε ένα άλλο σημείο του επιπέδου (x', y') σύμφωνα με κάποιο κανόνα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση ο κανόνας (μετασχηματισμός) είναι (x',y') = (x-3y, x+y):

> F:= (u,v)->(u-6*v ,u+5*v); # μιά απεικόνιση του επιπέδου στον εαυτό του (μετασχηματισμός)

> F(1,1);

Εξετάζω τώρα τι κάνει αυτός ο μετσχηματισμός στην προηγούμενη καμπύλη ( f1(z), f2(z) ) . Με άλλα λόγια θεωρώ την καμπύλη-εικόνα της προηγουμένης μέσω της F, που είναι η καμπύλη F( f1(z), f2(z) ) = ( f1(z)-3f2(z), f1(z)+f2(z) ).

> h1:=z->F(f1(z),f2(z))[1]; # η πρώτη συνάρτηση συντεταγμένων (δηλ. η f1(z)-3f2(z) )

> h2:=z->F(f1(z),f2(z))[2]; # η δεύτερη συνάρτηση συντεταγμένων (δηλ. η f1(z)+f2(z))

> plot([h1,h2, 0..2*Pi], plotConditions);

Αλλος τρόπος παράστασης παραμετρικής καμπύλης.

> myCurve:= t->(f1(t),f2(t)); myCurve2:=t->(h1(t),h2(t));

> plots[display]( {plot([myCurve(t) , t=0..2*Pi]) , plot([myCurve2(t) , t=0..2*Pi])} );

> plot( [myCurve(t)], t=0..2*Pi );

Tριτοβάθμιες καμπύλες.

> restart; w1:= a1*t^3+a2*t^2+a3*t+a4; w2:= b1*t^3+b2*t^2+b3*t+b4;

> a1:=1;a2:=-3;a3:=-1;a4:=-4;b1:=-12;b2:=-3;b3:=3;b4:=-14;

> plot([w1,w2], t=-3..3);

> plot([w1,w2, t=-0.7..0.5], scaling=CONSTRAINED);

>

>