Mάθημα 5 : συνέχεια
( Προσαρμογή του "Συνέχεια συναρτήσεων, ασυνεχείς συναρτήσεις" Ι.Γαλιδάκη)
Πως θα μπορούσαμε άραγε να ορίσουμε μία ασυνεχή συνάρτηση αμέσως; Ένας τρόπος είναι μέσω του ορισμού της συνάρτησης σαν "τμηματικής". Ένα παράδειγμα.
> f:=x->piecewise(x<1,(x+1)^2,-x);
Στην προηγούμενη περίπτωση, η τμηματική δέχεται σαν παραμέτρους πρώτα την συνθήκη, και μετά την συνάρτηση κάτω από αυτήν την συνθήκη. Επειδή εδώ οι συνθήκες είναι μόνο δύο, η δεύτερη συνθήκη δεν είναι ανάγκη να δοθεί γιατί είναι προφανής. Και το γράφημά της αμέσως με την εντολή "plot".
> plot(f(x),x=-2..2);
Παρατηρήστε όμως ότι στο σημείο της "ασυνέχειας" το πρόγραμμα δεν συμπεριφέρθηκε καλά. Δηλαδή, δεν μας έδειξε ότι όντως εκεί υπάρχει ασυνέχεια. Για να δούμε την σωστή γραφική παράσταση, περιλαμβάνουμε την παράμετρο "discont=true".
> plot(f(x),x=-2..2,discont=true);
Ας δούμε τώρα μία άλλη πολύ σημαντική συνάρτηση, την συνάρτηση Heaviside που ορίζεται σαν 0 για χ<0 και 1 για χ>=0.
> f:=x->Heaviside(x);
> plot(f(x),x=-2..2,axes=framed, scaling=CONSTRAINED);
Και θέλοντας να δούμε την ασυνέχεια, εισάγουμε την εντολή "discont=true" πάλι, έτσι ώστε να δούμε πώς ακριβώς συμπεριφέρεται στο σημείο ασυνέχειας.
> plot(f(x),x=-2..2,axes=framed,discont=true, scaling=CONSTRAINED);
Ας υποθέσουμε τώρα ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο βάσει του ορισμού. Έστω λοιπόν η συνάρτηση.
> f:=x->sin(1/x)-sin(1/x-x);
Ας δούμε το γράφημα της παράστασης της συνάρτησης αυτής κοντα στο 0.
> plot(f(x),x=-0.01..0.01);
>
Αν εξαιρέσει κανείς τα πηδήματα που χαλάνε την ομοιομορφία και οφείλονται μάλλον σε παρουσίαση σφάλματος στους εσωτερικούς υπολογισμούς, Βλέπετε ότι η συνάρτηση είναι "μάλλον" συνεχής στο 0 και η τιμή της στο όριο δεξιά και αριστερά πρέπει να είναι 0. Σύμφωνα με τον ορισμό λοιπόν, πρέπει να βρούμε ένα δ, τέτοιο ώστε για κάθε ε να ικανοποιείται η σχέση |sin(1/x)-sin(1/x-x)|<ε. Το σημείο στο οποίο βοηθάει η γραφική παράσταση είναι το γεγονός ότι είναι προφανές ότι η συνάρτηση είναι φραγμένη άνω και κάτω από τις δύο διαγώνιες (ψ=χ, ψ=-χ). Κατά συνέπεια, αν πάρουμε το x τέτοιο ώστε |x|<δ=ε/2, η ανισότητα της συνέχειας ικανοποιείται πλήρως αν ορίσουμε f(0)=0. Πράγματι.
> epsilon:=0.001;
> f(epsilon/2);
Ας δούμε τώρα τις γραφικές παραστάσεις μερικών διάσημων ασυνεχών συναρτήσεων. H συνάρτηση round(x) είναι μία μικρή παραλλαγή της συνάρτησης "ακέραιο μέρος του(x)".
> f:=x->round(x);
> plot(f(x),x=0..10,discont=true);
> f:=x->x-round(x);
> plot(f(x),x=0..10,discont=true);
> f:=x->round(x)/x;
> plot(f(x),x=0.5..10,discont=true);
> f:=x->round(x)+(-1)^round(x);
> plot(f(x),x=0..10,discont=true);
> f:=x->x/round(x);
> plot(f(x),x=1..10,discont=true);
> f:=x->(round(x))^2;
> plot(f(x),x=0..10,discont=true);
> f:=x->round(x)*cos(Pi*x);
> plot(f,1..5);
> f:=x->round(x)*sin(Pi*x);
> plot(f(x),x=0..5, discont=true);
> f:=x->round(x)-sqrt(x-round(x)); #παίρνει μιγαδικές τιμές γιά κάποια x
> plot(f(x),x=0..10);
> f(0.85);
Τα μεγέθη των μεταβολών στα σημεία ασυνέχειας μπορούν να βρεθούν με την εντολή limit
> limit(f(x),x=2,right);
> f:= x->Heaviside(x); a:= limit(f(x), x=0, left); b:= limit(f(x), x=0, right);
> f:=x->1/(x^3-6*x^2+32); plot(f,-10..8,-1..1, discont=true);
> limit(f(x),x=-2,left); limit(f(x),x=-2,right);
> h:= x->x/sin(x); plot(h,-10..10,-10..10, discont=true); #οχι ομως στο 0 !!
> h:= x->x/sin(x)^2; plot(h,-5..5,-10..10, discont=true);
> limit(x/sin(x), x=0, left); limit(x/sin(x), x=0, right); #τα όρια δεξιά και αριστερά ειναι ίσα αρα η συνάρτηση συνεχής στο x=0.
> limit(x/tan(x), x=0, left); limit(x/tan(x), x=0, right);
> plot(x/tan(x), x=-10..10, -20..20, discont=true);
> plot( tan(x)/x, x=-10..10, -20..20, discont=true);
> plot( tan(x)/x^2, x=-10..10, -20..20, discont=true);
> ff:=x->piecewise(x<0,1-exp(-x^2),0); plot(ff,-5..5,-0.5..1.2);
> t:=2; fft:=x->ff(x-t); plot(fft,-5..5,-0.5..1.2);
> t:=3;fftr:=x->fft(-x); plot(fftr,-5..5,-0.5..1.2);
> ffbell:= x->fft(x)*fftr(x); plot(ffbell,-4..4,-0.5..1.2);
>