BilliardBall

Τροχιές μπιλιάρδου

Δοθέντος πολυγώνου, το πρόβλημα εύρεσης γενικών κλειστών-τροχιών-μπιλιάρδου είναι δύσκολο (και άλυτο απ' όσο γνωρίζω). Μπορεί κανείς ωστόσο να προσπαθήσει να βρεί κλειστές τροχιές του μπιλιάρδου μέσα σε κανονικά πολύγωνα και μάλιστα της εξής μορφής:
Το πρώτο ευθύγραμμο τμήμα της τροχιάς ΑΒ, ξεκινά από το εσωτερικό σημέιο Α και φτάνει σε σημείο Β του πολυγώνου, έτσι ώστε το ΑΒ να είναι παράλληλο σε μιά πλευρά του πολυγώνου.

Ελεύθερα μετατοπίσημα στο προηγούμενο σχήμα είναι
Το πολύγωνο και το σημείο Α (ενεργοποιήστε το εργαλείο-επιλογής (Ctrl+1), πιάστε και αλλάξτε).
Μετατοπίσημο-στο-σύνορο είναι:
Το σημείο Β (ενεργοποιήστε το εργαλείο-επιλογής-στο-σύνορο (Ctrl+2), πιάστε και άλλάξτε).

Η συνταγή για την κατασκευή της τροχιάς:
1) Ξεκινήστε από σημεία: Α στο εσωτερικό και Β στο σύνορο.
2) Σχεδιάστε την εφαπτόμενη τ(Β) στο Β και το εξ' ανάκλασης Α' του Α στην τ.
3) Σχεδιάστε την ευθεία σ = [Α',Β] και βρήτε το 2ο σημείο τομής της Γ με το πολύγωνο.
4) Πάρτε Α = Β και Β = Γ και επαναλάβετε τα βήματα 2 + 3 γιά να βρήτε το επόμενο σημείο Δ .
5) Πάρτε Α = Γ και Β = Δ και επαναλάβετε τα βήματα 2 + 3 γιά να βρήτε το επόμενο σημείο Ε .
.......
επαναλάβατε Ν φορές
.......

Στην προηγούμενη κατσκευή οι εφαπτόμενες του πολυγώνου στα σημεία ανάκλασης έχουν γίνει κρυφές. Η διαδικασία είναι ιδανική για προγραμματισμό.

Παραπέρα μελέτη (ύπαρξης των τροχιών): M. Berger , Geometry I, Springer 1987, ch. 9.4, p. 214
Για ένα πολύ πιό γενικό παράδειγμα, δείτε το : BilliardTrajectories.html .

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/