Clifford_Cayley

Θεώρημα των Clifford-Cayley

Από σημείο D εντός του τριγώνου t=(ABC) , φέρε παράλληλες στις πλευρές του. Τοποθέτησε ισομετρικά (χωρίς ανακλάσεις) τα προκύπτοντα τρίγωνα (DEF), (DHG) και (DIJ) στα (D'E'F'), (D'H'G') και (D'I'J'), αντίστοιχα, έτσι ώστε οι κορυφές τους να συμπίπτουν στο D', όπως συνέβαινε και στο D. Φτιάξε τα παραλληλόγραμμα στις πλευρές τους: (A'I'D'G'), (B'E'D'G') και (C'H'D'F'). Τότε το τρίγωνο t' = (A'B'C') είναι πάντοτε όμοιο προς το αρχικό τρίγωνο t.

Στο προηγούμενο σχήμα, τα σημεία K, L, M και D' είναι ελεύθερα (σημεία ελέγχου).
Αλλάζοντας τις θέσεις τους παίρνουμε όλες τις δυνατές θέσεις των τριγώνων (D'E'F'), (D'H'G') και (D'I'J'), όπως απαιτεί το θεώρημα. Το τρίγωνο είναι ακριβές αντίγραφο του . Τα μέτρα των γωνιών του τελευταίου τριγώνου παραμένουν αναλλοίωτα, καθώς αλλάζει το σχήμα (μέσω των σημείων ελέγχου).

Το θεώρημα είναι γνωστό και σαν [Θεμελιώδες θεώρημα των 3-συνδέσμων]. Σ' αυτήν την μορφή τα 15 τμήματα που αποτελούν το σχήμα θεωρούνται ως ράβδοι σταθερού μήκους, συνδεδεμένες σε 10 αρθρώσεις (τα σημεία Α, Β, C, D, ... ). Μια συζήτηση αυτής της άποψης, καθώς και η απόδειξη του θεωρήματος περιέχεται στο βιβλίο [Ross Honsberger's, In Polya's Footsteps, The Mathematical Assoc. of America, 1997, p. 129]. Ενα άλλο παράδειγμα που κινεί συνδεδεμένα πολύγωνα περιέχεται στο έγγραφο: Dudeney.html .

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/