[alogo] Πρόβλημα κομβικών σημείων

[0_0] [0_1] [0_2] [0_3]
[1_0] [1_1] [1_2] [1_3]
[2_0] [2_1] [2_2] [2_3]
[3_0] [3_1] [3_2] [3_3]


Διαίρεση των πλευρών ενός τριγώνου σε n1 (5), n2 (7), n3 (9) ίσα μέρη αντίστοιχα.
Προσδιορισμός του αριθμού N(n1, n2, n3) των σημείων (όπως τα A και B παραπάνω), όπου ευθείες και των τριών οικογενειών των συνδετικών ευθειών συναντώνται. Χαρακτηρισμός των τριάδων με N=0. Ποιές τριάδες έχουν μεγάλο N;
Πώς σχετίζονται τα N(k*n1, k*n2, k*n3) και N(n1, n2, n3); Γενικεύστε σε κυρτά πολύγωνα με άρτιο αριθμό πλευρών

[0_0] [0_1] [0_2] [0_3]
[1_0] [1_1] [1_2] [1_3]


Από το θεώρημα του Ceva, υποθέτοντας ότι οι σεβιανές διαιρούν την πλευρά στην οποία καταλλήγουν σε ένα λόγο
AF/AB = a, BD/BC = b, CE/CA =c = >
abc = (1-a)(1-b)(1-c). (Steiner I. p.167)
Θέτοντας a = z1/n1, b = z2/n2, c = z3/n3, για θετικούς ακεραίρεους και ζήτα μικρότερο του ni = >

z1*z2*z3 = (n1-z1)*(n2-z2)*(n3-z3). (***)

Συνεπώς το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής πρόβλημα θεωρίας αριθμών:
Δοθέντων των θετικών ακεραίων (έστω >2) n1, n2, n3, βρείτε όλες τις λύσεις του (***) στους θετικούς ακεραίους z1, z2, z3 , με zi <ni. Ο N(n1,n2,n3) είναι ο συνολικός αριθμός αυτών των λύσεων.

π.χ. στο μεγάλο σχήμα (z1, z2, z3) = (2, 3, 6) και (n1-z1, n2-z2, n3-z3) = (3, 4, 3) είναι οι μόνες λύσεις. Γενικά εάν (z1,z2,z3) είναι μια λύση, τότε (n1-z1,n2-z2,n3-z3) είναι επίσης μια λύση. Συνεπώς η απεικόνιση (z1,z2,z3) |--- > (n1-z1, n2-z2, n3-z3) αφήνει αμετάβλητο τον χώρο λύσεων. Συγκεκριμένα, εάν όλα τα (n1,n2,n3) είναι άρτια τότε (n1/2, n2/2, n3/2) είναι πάντα μια λύση. Αν υπάρχει κάποιος περιττός αριθμός ανάμεσα στους αριθμούς (n1, n2, n3), τότε οι λύσεις πρέπει να εμφανίζονται σε ζεύγη, για αυτό το N(n1,n2,n3) είναι άρτιος αριθμός.

Η περίπτωση n1=2, n2=n3=x είναι εύκολη (σημεία της διαμέσου). Πρέπει z1*z2 = (x-z1)*(x-z2) = >
x = z1+z2. Έτσι N(2,x,x) = x-1. Από την άλλη μεριά, για διαφορετικά n2, n3 δεν υπάρχει λύση, εφόσον αυτό θα οδηγούσε στην εξίσωση n1*n2 -z1*n2 - z2*n1 = 0. Αν τα n1, n2 είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε αυτό είναι αδύνατο. Η περίπτωση των μη-πρώτων ανάγεται επίσης στην περίπτωση των πρώτων.

Η γενική εξίσωση (***) αναπαριστά μια αλγεβρική (κυβική) επιφάνεια στον χώρο. Θέλουμε τα σημεία αυτής της επιφάνειας που έχουν (θετικές) ακέραιες συντεταγμένες και εμπεριέχονται σε ένα συγκεκριμένο παραλληλεπίπεδο.

Produced with EucliDraw©