Fermat

Θεώρημα του Fermat

Στις πλευρές ενός οξυγώνιου τριγώνου ABC κατασκευάστε ισόπλευρα τρίγωνα BCK, CAL, ABM. Τότε
a) Οι ευθείες AK, BL, CM είναι όλες ίσες.
b) Όλες αυτές οι ευθείες διέρχονται από ένα σημείο F.
c) Όλες οι γωνίες που σχηματίζονται στο F από αυτές τις ευθείες είναι 60 μοιρών.
d) Τα κέντρα των ισοπλεύρων τριγώνων σχηματίζουν επίσης ένα ισόπλευρο τρίγωνο UVW.
e) Το σημείο F ελαχιστοποιεί το άθροισμα των αποστάσεων f(P) = PA+PB+PC.

Πάρτε το εργαλείο επιλογής (CTRL+1).
Πιάστε και μετακινήστε το Χ, για να δείτε το στοιχείο της απόδειξης

Απόδειξη του e): Ορίστε ένα σημείο P, ενώστε με τα A, B και C. Στρέψτε το τρίγωνο APC γύρω από το A κατά μια γωνία 60 μοιρών. Επιθυμητή είναι η ελαχιστοποίηση του BP+AP+CP = BP+PQ+QL. Αλλά αυτό είναι πάντα μικρότερο από το ευθ. τμήμα BL.

Πρόβλημα: Μελετήστε τα ίδια ζητήματα όταν το τρίγωνο δεν είναι οξυγώνιο αλλά έχει μια γωνία μεγαλύτερη της ορθής. Τι από το προηγούμενο θεώρημα εξακολουθεί να ισχύει και σ' αυτήν την περίπτωση;

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/