[alogo] Βασικό θεώρημα κίνησης πολυγώνου ως προς κορυφήν

Το θέμα εδώ είναι το εξής: Πολύγωνο (για απλότητα τρίγωνο) ΔΕΖ, κινήται περί την σταθεράν κορυφήν του Δ, παραμένον όμοιον προς άλλον σταθερόν πολύγωνον (εδώ το ΑΒΓ). Εάν μιά κορυφή του πολυγώνου (εδώ η Ε) κινήται επί σταθερού κύκλου, τότε και πάσα άλλη κορυφή του κινουμένου πολυγώνου θα κινήται επί (άλλου) σταθερού κύκλου.

[0_0] [0_1]
[1_0] [1_1]


Η απόδειξη (τουλάχιστον η υπόδειξη) είναι συντομοτέρα της εκφώνησης. Αρκεί να κατασκευάσουμε το όμοιο του ΑΒΓ, τρίγωνο ΔΗΘ. Το Θ είναι σταθερό σημείο και τα τρίγωνα ΔΗΕ, ΔΘΖ είναι όμοια. Ο λόγος ομοιότητός τους είναι = ΔΗ/ΔΘ (σταθερός), άρα το μήκος ΘΖ είναι σταθερό.

Ανάλογη πρόταση ισχύει και για την κίνηση του Ε επί σταθερής ευθείας. Τότε και κάθε άλλο σημείο του πολυγώνου θα κινήται επίσης επί σταθερής ευθείας.


Produced with EucliDraw©