Pollock2

Θεώρημα του Pollock

Κατασκευή του Ισοπλεύρου τριγώνου
"c" είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ορθογωνίου τριγώνου ABC.

i) Εάν το σημείο Ζ είναι τέτοιο ώστε η εφαπτόμενη Ε'D' να διχοτομήται στο Ζ, τότε ένας απλός υπολογισμός δείχνει ότι η γωνία ω= <)ZCD' πρέπει να είναι ίση με (π-α)/3, όπου α = <)CAB.
΄Αρα γιά την κατασκευή του σημείου Ζ:
i1) Με το εργαλείο [Μετρήσεις\Μέτρο Γωνίας] κλικ στο Α. Τούτο παράγει μιά ετικέτα της μορφής [ <(Α) ΧΧ:ΧΧ], που εμφανίζει το μέτρο της γωνίας στο Α.
i2) Γράψτε κάπου στον λευκό χώρο το κείμενο [formula (pi-x)/3] και πατήστε το "Enter". Τούτο παράγει το αντικείμενο-τύπο [(pi-x)/3].
i3) Δεξί κλικ στον τύπο και επιλογή [Ενεργοποίηση]. Κατόπιν κλικ στην ετικέτα του i1) ώστε να παραχθεί η ετικέτα μέτρου γωνίας της θ = (π-α)/3. Τούτο παράγει μιά ετικέτα της μορφής [Υπολ ΥΥ:ΥΥ].
i4) Διπλό κλικ στο πρόσφατα δημιουργηθέν κουτί μέτρου γωνίας, κρατώντας ταυτόχρονα πατημένο το Shift πλήκτρο. Τούτο παράγει την γωνία ω, της οποίας το μέτρο είναι (π-α)/3.
i5) Διαλέξτε το εργαλείο [Διαβήτης Γωνίας _ _ _ ] και κάντε κλικ στην ω, κατόπιν δε στις λαβές C και Β, ώστε να μεταφέρετε την γωνία ω στο C, κατά μήκος της CB. Τούτο ορίζει την κατεύθυνση CZ.
i6) Διαλέξτε το εργαλείο ευθειών και κατασκευάστε την ευθεία CZ. Βρήτε το σημείο τομής της Ζ με τον κύκλο.

ii) Εάν το σημείο Ι είναι τέτοιο ώστε η εφαπτόμενη KL να διχοτομήται από το Ι, τότε ένας εύκολος υπολογισμός δείχνει ότι θ = <)ICB πρέπει να έχει μέτρο α/3, όπου α = <)CAB. Κατασκευάστε λοιπόν το Ι με την μέθοδο του (i) αντικαθιστώντας τον τύπο [(pi-x)/3] με τον [x/3].

iii) Η ίδια κατασκευή με την (ii) γίνεται και γιά το Μ, που είναι τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα PQ να διαιρήται από το Μ.

Το θεώρημα του Pollock λέει ότι το τρίγωνο ZIM είναι ισόπλευρο. Η απόδειξη είναι μιά εύκολη συνέπεια των προηγουμένων σχέσεων μεταξύ των γωνιών.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/