Projection_Polygon

Εγγεγραμμένα πολύγωνα σταθερού εμβαδού

Προβολή ενός σημείου Y κύκλου c', ομόκεντρου με τον περιγεγραμμένο κύκλο c του κανονικού πολυγώνου p, στις πλευρές του p. Το πολύγωνο p' των σημείων προβολής έχει σταθερό εμβαδόν, καθώς το Y κινείται στον ομόκεντρο κύκλο c'. [Lhuilier 1824, cited from Steiner, Werke, Bd 1, p. 15]

1) πάρτε το εργαλείο επιλογής-μετακίνησης (πιέζοντας CTRL+2)
2) επιλέξτε-μετακινήστε το σημείο Y
3) το p' αλλάζει αλλά όχι και το εμβαδόν του (εμφανίζεται στο αριθμητικό αντικείμενο)
4) εναλλάξτε στο εργαλείο-επιλογής ( πιέστε CTRL+1)
5) επιλέξτε το X και σύρετε το για να μεγεθύνεται τον εγγεγραμμένο κύκλο. Επαναλάβετε τα πειράματα.
6) Παρατηρήστε την ύπαρξη μιας κρίσιμης ακτίνας OZ, έτσι ώστε το p' είναι κυρτό μόνο αν το OX είναι μικρότερο του OZ
7) Υπολογίστε το OZ
8) Κάντε το c' μεγαλύτερο του c και το πολύγωνο p' μή-κυρτό.
9) Επαναλάβετε τα πειράματα για αυτό τον σχηματισμό.
10) Ποιό είναι το εμβαδόν ενός μή-κυρτού πολυγώνου με αυτοτομές;
11) Αποδείξτε την πρόταση.

Για την απόδειξη μιας γενίκευσης δείτε στο [J. Steiner, Werke, Chelsea 1971, Bd. 1, p. 15]

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/