Recycler

Τριγωνικός Ανακυκλωτής F

Αυτός είναι ο μετασχηματισμός Moebius F, ο οποίος ανακυκλώνει τις κορυφές ενός τριγώνου A -- > B -- > C -- > A.
Το χαρακτηριστικό του παραλληλόγραμμο (εξ' ορισμού, έχοντας ώς κορυφές τα σταθερά σημεία του F και τους πόλους του F και F^(-1)) είναι ρόμβος, με γωνία 60 μοιρών. Δύο απέναντι κορυφές αυτού συμπίπτουν με τα ισοδύναμα σημεία. Οι δύο άλλες απέναντι κορυφές είναι στον άξονα Lemoine και συμπίπτουν με τα αντίστροφα των σημείων Brocard ω.π. τον περιγεγραμμένο κύκλο. Η F αφήνει αμετάβλητη (ολόκληρη) την δέσμη που δημιουργείται από τους Απολλώνιους κύκλους του τριγώνου (ανακυκλώνοντας αυτούς τους κύκλους). Η F αφήνει σταθερή την δέσμη που δημιουργείται από τον περιγεγραμμένο κύκλο και τον κύκλο Brocard (δέσμη ορθογώνια στην προηγούμενη). Κάθε κύκλος της δέσμης παραμένει αμετάβλητος υπό την F. Ο περιγεγραμμένος κύκλος O και τα σημεία Brocard κατασκευάζουν μια τροχιά του F (O -- > G -- > F -- > O). Όλα τα "τροχιακά τρίγωνα" (X, F(X), F(F(X))) έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό παραλληλόγραμμο, συνεπώς και τον ίδιο άξονα Lemoine και διάμετρο Brocard. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι αυτών των τριγώνων ανήκουν στην δέσμη που είναι σταθερή υπό την F. Τα τρίγωνα που έχουν τον ίδιο περιγεγραμμένο κύκλο και ίδια σημεία Brocard με το ABC, συμπίπτουν με τις τροχιές των σημείων X που βρίσκονται στον περιγεγραμμένο κύκλο. Έχουν όλα την ίδια έλλειψη Βrocard, που συμπίπτει με την περιβάλλουσα των ευθειών [Y,F(Y)], για σημεία Y στον περιγεγραμμένο κύκλο. Το τελευταίο, επειδή ο ανακυκλωτής F συμπίπτει στον περιγεγραμμένο κύκλο με τον "Προβολικό Ανακυκλωτή F* " ο οποίος ορίζεται ως η Προβολικότητα που αφήνει αμετάβλητο τον περιγεγραμμένο κύκλο και ανακυκλώνει τις κορυφές A -- > B -- > C -- > A.

Τα σημεία Βrocard όλων των τροχιακών-τριγώνων βρίσκονται σε δύο κυκλικά-τόξα (J'P'J) και στα συμμετρικά τους ω.π. το JJ'.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/