SteinerLine

Ευθεία του Steiner

Θεώρησε τρίγωνο ABC και σημείο D επί του περικύκλου του. Οι προβολές E, F, G του D επί των πλευρών του τριγώνου περιέχονται σε ευθεία L(D), την ευθεία Wallace-Simson του D. Διπλασίασε τα μήκη DE, DF, DG. Τα άκρα αυτών των τμημάτων ορίζου ευθεία S(D), παράλληλο της L(D). Η S(D) διέρχεται από το ορθόκεντρο Η του τριγώνου.

Πράγματι, είναι σαφές ότι η ευθεία S(D) = [HN] είναι παράλληλος της ευθείας Simson L(D). Φέρε το ύψος BQ προς την AC και όρισε το παραλληλόγραμμο HNDP. Η ισότητα των γωνιών στα R, C και F δείχνει ότι το BRDP είναι επίσης παραλληλόγραμμο. Συνεπώς το HNDQ είναι ισοσκελές τραπέζιο και η MF, ούσα ορθογώνια στην βάση του DN, στο μέσον της, είναι και μεσοκάθετος της HQ. Τούτο ταυτίζει το H ως το ορθόκεντρο επί της BM. Το συμμετρικό S του D ως προς την ευθεία Simson line περιέχεται επίσης στην ευθεία [HN].
Το σχήμα φανερώνει επίσης ένα τρόπο να βρεθεί το D επί του περικύκλου, γιά το οποίο η ευθεία L(D) να έχει δοθείσα κατεύθυνση: Φέρε την BR παράλληλο της δοθείσης κατεύθυνσης, για να βρεις το R και φέρε κατόπιν την RD κάθετο στην AC, γιά να ορίσεις το D.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/