Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

• Nα γνωρίζουν τη χρήση της μεθόδου των χαρακτηριστικών για ΜΔΕ 1ης τάξης.
• Να είναι σε θέση να κατανοούν τη φυσική που κρύβεται πίσω από τις ιδιότητες της λύσης των εξισώσεων θερμότητας, κύματος και Poisson και να γνωρίζουν ποιες συνθήκες είναι απαραίτητες για την ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης.
• Να μπορούν να εφαρμόσουν την αρχή μεγίστου και τη μέθοδο ενέργειας για να συμπεραίνουν ιδιότητες της λύσης.
• Να μπορούν να εφαρμόζουν τη μέθοδο Fourier και να ξέρουν τα σχετικά αποτελέσματα σύγκλισης των σειρών που προκύπτουν κατά την εφαρμογή της στις εξισώσεις κύματος, θερμότητας και Laplace.
  

Περιεχόμενο

• Προέλευση των εξισώσεων με παραδείγματα: εξίσωση Poisson, παλλόμενης χορδής, θερμότητας.
• Μέθοδος χαρακτηριστικών για γραμμικές και μη γραμμικές εξισώσεις (Hopf) πρώτης τάξης. Ύπαρξη λύσης για το πρόβλημα Cauchy. Συστήματα εξισώσεων πρώτης τάξης σε απλές περιπτώσεις.
• Ταξινόμηση διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης για n=2 (κανονική μορφή) και για n>2.
• Καλώς τεθειμένα προβλήματα
• Πρόβλημα Cauchy για κυματική εξίσωση, αναπαράσταση της λύσης  μέσω του Θεωρήματος της απόκλισης στον κώνο εξάρτησης, ενεργειακές εκτιμήσεις. Πεπερασμένη ταχύτητα διάδοσης διαταραχών.
• Αρχή του μεγίστου για την εξίσωση Laplace, ταυτότητες Green, ενεργειακές εκτιμήσεις.
• Αρχή του μεγίστου για την εξίσωση θερμότητας, ενεργειακές εκτιμήσεις.
• Πρόβλημα Cauchy για την εξίσωση θερμότητας (n=1), θεμελιώδης λύση.
• Μέθοδος Fourier για εξίσωση θερμότητας και κυματική εξίσωση σε φραγμένα χωρία, θεμελίωση της μεθόδου (σύγκλιση των σειρών), βασικά στοιχεία Αρμονικής Ανάλυσης.
  
• Εξίσωση Laplace και Poisson σε δίσκο.

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• Γ. Ακρίβης και Ν. Αλικάκος. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Σύγχρονη Εκδοτική, Αθήνα 2012.
• David J. Logan. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2003.
• Στέφανος Τραχανάς. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2001.