Ένα σύστημα $m$ γραμμικών εξισώσεων σε $n$ αγνώστους (ή πιο σύντομα ένα $m\times n$ γραμμικό σύστημα) είναι ένα σύστημα εξισώσεων της μορφής

$\left\{\begin{array}{ccccccccc} a_{11}\ x_1 &+& a_{12}\ x_2 &+& \cdots &+& a_{1n}\ x_n &=& b_1 \\ a_{21}\ x_1&+& a_{22}\ x_2&+&\cdots &+& a_{2n}\ x_n &=& b_2\\ \vdots & & \vdots & & \cdots& &\vdots& &\vdots\\ a_{m1}\ x_1&+& a_{m2}\ x_2&+& \cdots &+& a_{mn}\ x_n &=& b_m\end{array} \right\}$

Ορίσαμε τον πίνακα του συστήματος

$\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

και τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος

$\left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m\end{array} \right).$

Είδαμε την μέθοδο απαλοιφής Gauss για την λύση ενός γραμμικού συστήματος. Στόχος της απαλοιφής είναι να φέρει τον πίνακα σε κλιμακωτή μορφή. Στον κλιμακωτό πίνακα μπορεί να υπάρχουν μηδενικές γραμμές, οι οποίες βρίσκονται μετά τις μη μηδενικές γραμμές. Σε κάθε μη μηδενική γραμμή του κλιμακωτού πίνακα, το πρώτο από αριστερά μη μηδενικό στοιχείο ονομάζεται οδηγός.

Είδαμε ότι σε ένα $n \times n$ σύστημα, αν η απαλοιφή καταλήξει σε ένα κλιμακωτό πίνακα με $n$ οδηγούς, τότε οι οδηγοί βρίσκονται στη διαγώνιο του πίνακα και το σύστημα έχει μοναδική λύση που μπορεί να υπολογιστεί με ανάδρομη αντικατάσταση.

Παρατηρήσαμε ότι η απαλοιφή Gauss σε ένα $m\times n$ πίνακα οδηγεί σε ένα κλιμακωτό πίνακα με $r$ οδηγούς, όπου $r\leq m$ και $r\leq n$ (αυτό γράφεται πιο σύντομα και $r\leq \min\{m,n\}$). Το πλήθος των οδηγών εξαρτάται απολκειστικά από τον πίνακα (και όχι από τις λεπτομέρειες της απαλοιφής Gauss) και ονομάζεται τάξη του πίνακα.

Κάθε μεταβλητή που αντιστοιχεί σε στήλη με οδηγό ονομάζεται βασική μεταβλητή, ενώ κάθε μεταβλητή που αντιστοιχεί σε στήλη χωρίς οδηγό ονομάζεται ελεύθερη μεταβλητή (ή παράμετρος). Σε ένα σύστημα με πίνακα $A \in \mathbb R^{m\times n}$, το οποίο είναι συμβατό, πρατηρήσαμε ότι:

1. Αν $\mathrm{rank}(A) = n$ τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση.

2. Αν $\mathrm{rank}(A) < n$ τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες εκφράζονται συναρτήσει των $n-\mathrm{rank}(A)$ ελεύθερων μεταβλητών.

Ορίσαμε το σύνολο $\mathbb R^n$ των $n$-άδων πραγματικών αριθμών και ορίσαμε δύο πράξεις:

1. πρόσθεση δύο διανυσμάτων

$(x_1,\ldots, x_n) + (y_1,\ldots, y_n) = (x_1+y_1,\ldots, x_n+y_n)$

2. πολλαπλασιασμό αριθμού με διάνυσμα

$\lambda \cdot (x_1,\ldots, x_n) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)$

Είδαμε τις βασικές ιδιότητες που ικανοποιούν οι πράξεις αυτές.

Είδαμε το σύνολο των $m\times n$ ($m$ επί $n$) πινάκων $\mathbb R^{m\times n}$. Ένας $m\times n$ πίνακας είναι μία διάταξη αριθμών σε $m$ γραμμές και $n$ στήλες. Συνήθως θα περιγράφουμε ένα τέτοιο πίνακα $A$ δίνοντας τα στοιχεία του $a_{ij}$ για $i=1,\ldots,m$, $j=1,\ldots,n$. Oρίσαμε δύο πράξεις αντίστοιχες με αυτές του $\mathbb R^n$:

1. πρόσθεση δύο πινάκων

$\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) + \left(\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ a_{21} & b_{22} &\cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} +b_{22} &\cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{array} \right)$

2. πολλαπλασιασμό αριθμού με πίνακα

$\lambda \cdot \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} &\cdots & \lambda a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{array} \right)$

Είδαμε ότι οι πράξεις της πρόσθεσης πινάκων και του πολλαπλασιασμού αριθμού με πίνακα ικανοποιούν τις ίδιες ιδιότητες με τις αντίστοιχες πράξεις του $\mathbb R^n$.

Διαβάστε: Παρ. 1.1, 1.2 και 1.3 από το βιβλίο [1].
Διαβάστε: Παρ. 1.4, 2.1 από το βιβλίο [1].

Ορίσαμε τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Ειδικότερα, όταν $A\in \mathbb R^{m\times p}$ και $B\in \mathbb R^{p\times n}$, (δηλαδή το πλήθος στηλών του $A$ είναι ίσο με το πλήθος γραμμών του $B$) τότε ορίζεται το γινόμενο $A\cdot B$, το οποίο είναι ένας $m\times n$ πίνακας. To $i,j$ στοιχείο του πίνακα $AB$ είναι το

$(AB)_{ij} = \sum_{k = 1}^p A_{ik} B_{kj}.$

Είδαμε βασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πινάκων. Ορίσαμε πότε ένας τετραγωνικός πίνακας είναι αντιστρέψιμος.

Ορίσαμε τις έννοιες του άνω (κάτω) τριγωνικού πίνακα, του διαγώνιου πίνακα, του συμμετρικού πίνακα. Δεδομένου ενός πίνακα $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ ορίσαμε τον ανάστροφο πίνακα, $A^{\top}\in \mathbb{R}^{n\times m}$.

Παρατηρήσαμε ότι ένα γραμμικό σύστημα

$\left\{\begin{array}{ccccccccc} a_{11}\ x_1 &+& a_{12}\ x_2 &+& \cdots &+& a_{1n}\ x_n &=& b_1 \\ a_{21}\ x_1&+& a_{22}\ x_2&+&\cdots &+& a_{2n}\ x_n &=& b_2\\ \vdots & & \vdots & & \cdots& &\vdots& &\vdots\\ a_{m1}\ x_1&+& a_{m2}\ x_2&+& \cdots &+& a_{mn}\ x_n &=& b_m\end{array} \right\}$

με πίνακα $A=(a_{ij})\in \mathbb R^{m\times n}$, διάνυσμα μεταβλητών $x = (x_1,\ldots,x_n)$ και διάνυσμα του 2ου μέλους $b = (b_1,\ldots, b_m)$, μπορεί να γραφεί σας εξίσωση πινάκων ως $A\cdot x = b$, όπου βλέπουμε τα διανύσματα $x$ και $b$ ως πίνακες $n\times 1$ και $m\times 1$ αντίστοιχα.

Αν $A=(a_{ij})\in \mathbb R^{m\times n}$, $Β=(b_{ij})\in\mathbb R^{m\times m}$ και $C=(c_{ij})\in \mathbb R^{n\times n}$, τότε

• η γραμμή $i$ του πίνακα $B\cdot A \in \mathbb R^{m\times n}$, ας την ονομάσουμε $\mathfrak{a}'_i$, είναι ο γραμμικός συνδυασμός των γραμμών, $\mathfrak{a}_k$, του πίνακα $A$ με συντελεστές από τη $i$ γραμμή του πίνακα $B$, δηλαδή

$\mathfrak{a}'_i = \sum_{k=1}^m b_{ik} \mathfrak{a}_k,$

• η στήλη $j$ του πίνακα $A\cdot C \in \mathbb R^{m\times n}$, ας την ονομάσουμε $A'_j$, είναι ο γραμμικός συνδυασμός των στηλών, $A_k$ του πίνακα $A$ με συντελεστές από τη $j$ στήλη του πίνακα $C$, δηλαδή

$A'_j = \sum_{k=1}^m c_{kj} A_k.$

Ορίσαμε τους στοιχειώδεις πίνακες:

• Τους πίνακες αντιμετάθεσης $E_{i\leftrightarrow j}$, που προκύπτουν από τον ταυτοτικό με εναλλαγή των γραμμών $i$ και $j$.

• Τους πίνακες $E_{ij}(\lambda)$ που προκύπτουν από τον ταυτοτικό αν στην γραμμή $i$ προσθέσουμε $\lambda$ φορές τη γραμμή $j$.

Είδαμε πώς μπορούμε να εκφράσουμε κάθε βήμα της απαλοιφής Gauss ως πολλαπλασιασμό του πίνακα στον οποίο κάνουμε απαλοιφή, με κάποιο στοιχειώδη πίνακα.

Είδαμε ότι ο πίνακας $E_{i\leftrightarrow j}$ είναι αντιστρέψιμος και $E_{i\leftrightarrow j}^{-1} = E_{i\leftrightarrow j}$.

Διαβάστε: Παρ. 2.1 από το βιβλίο [1].
Διαβάστε: Παρ. 2.2 από το βιβλίο [1].
Ασκήσεις: 1ο Φυλλάδιο (Ημ. παράδοσης 24/10/2024)

Αρχίσαμε να μελετάμε την έννοια της αντιστρεψιμότητας πινάκων. Είπαμε, χωρίς να το δικαιολογήσουμε, ότι για να είναι ένας πίνακας $A\in \mathbb R^{n\times n}$ αντιστρέψιμος αρκεί να υπάρχει πίνακας $A'\in\mathbb R^{n\times n}$ τέτοιος ώστε $A A' = I$. Αν συμβαίνει αυτό, τότε είναι βέβαιο ότι θα ισχύει και $A' A = I$ και άρα ο $A$ είναι αντιστρέψιμος. Δείξαμε ότι δύο πίνακες $A, B\in \mathbb R^{n\times n}$ είναι αντιστρέψιμοι αν και μόνο αν το γινόμενο $AB$ είναι αντιστρέψιμος πίνακας. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$. Γενικότερα, αν οι πίνακες $A_1,\ldots, A_k\in \mathbb R^{n\times n}$ είναι αντιστρέψιμοι, τότε και ο πίνακας $A_1\cdots A_k$ είναι αντιστρέψιμος και ισχύει

$(A_1 A_2\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1}\cdots A_2^{-1} A_2^{-1}.$

Είδαμε ότι ο πίνακας $A\in \mathbb R^{n\times n}$ είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν τα $n$ συστήματα

$A x = e_j \ \ \ j=1,\ldots,n$

έχουν λύση, όπου το διάνυσμα $e_j$ έχει σε κάθε συντεταγμένη $0$ εκτός από την $j$ συντεταγμένη, στην οποία έχει $1$. Με άλλα λόγια, τα διανύσματα $e_1,\ldots, e_n$ είναι οι στήλες του ταυτοτικού πίνακα $I$. Είδαμε τη μέθοδο Gauss-Jordan για να υπολογίζουμε τον αντίστροφο ενός πίνακα, εφόσον αυτός υπάρχει.

Δείξαμε ότι οι παρακάτω τρεις προτάσεις που αφορούν ένα πίνακα $A\in \mathbb R^{n\times n}$ είναι ισοδύναμες:

1. Ο πίνακας $A$ είναι αντιστρέψιμος.

2. Τα συστήματα $A x = e_j$, για $j = 1,\ldots, n$ έχουν (μοναδική) λύση.

3. Ο πίνακας $A$ έχει $n$ οδηγούς (δηλαδή $\mathrm{rank}(A) = n$).

Είδαμε την ανάλυση LU: Για κάθε πίνακα $A\in \mathbb R^{m\times n}$ υπάρχει πίνακας μετάθεσης $P\in\mathbb R^{m\times m}$, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας $L\in\mathbb R^{m\times m}$ και κλιμακτός πίνακας $U\in \mathbb R^{m\times n}$ τέτοιοι ώστε $P A = L U$.

Είδαμε μια εφαρμογή των πράξεων πινάκων: Αν μας δοθεί μία γραμμική αναδρομική ακολουθία, η οποία μπορεί, για παράδειγμα, να περιγράφει την εξέλιξη ενός πληθυσμού, μπορούμε να υπολογίσουμε γρήγορα τον $n$-οστό όρο της με χρήση πινάκων.

Διαβάστε: Παρ. 2.2 από το βιβλίο [1].
Διαβάστε: Παρ. 2.4 από το βιβλίο [1] (Δυνάμεις πινάκων και πληθυσμιακά μοντέλα, Ανάλυση LU πινάκων).

Ορίσαμε την έννοια του διανυσματικού χώρου και την έννοια του υπόχωρου. Είδαμε παραδείγματα υποσυνόλων διανυσματικών χώρων που είναι υπόχωροι και παραδείγματα που δεν είναι υπόχωροι. Παρατηρήσαμε ότι ένας υπόχωρος περιέχει πάντα το μηδενικό διάνυσμα. Είδαμε ότι το σύνολο λύσεων ενός ομογενούς γραμμικού συστήματος, $A x = 0$, σε $n$ μεταβλητές είναι ένας υπόχωρος του $\mathbb R^n$. Το σύνολο λύσεων του συστήματος $A x = b$, είναι υπόχωρος αν και μόνο αν $b=0$. Γενικά, πρόκειται για μία μετατόπιση του χώρου των λύσεων του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος.

Παρατηρήσαμε ότι αν $V$ είναι ένας διανυσματικός χώρος και $S = \{v_1,\ldots,v_n\}\subseteq V$ είναι ένα σύνολο διανυσμάτων του $V$, τότε το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών των $v_1,\ldots, v_n$ είναι υπόχωρος του $V$. Τον υπόχωρο αυτόν τον ονομάσαμε γραμμική θήκη του $S$ και τον συμβολίσαμε με $\mathrm{span}(S)$. Δηλαδή

$\mathrm{span}(\{v_1,\ldots,v_n\}) = \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\ :\ \lambda_1,\ldots,\lambda_n\in \mathbb R\right\}.$

Λέμε ότι το σύνολο $S$παράγει τον υπόχωρο $\mathrm{span}(S)$. Όταν συμβαίνει $\mathrm{span}(S) = V$ λέμε ότι το σύνολο $S$ παράγει το χώρο $V$. Είδαμε ότι το σύνολο $\{e_j\ : j = 1,\ldots, n\}$, όπου το διάνυσμα $e_j$ είναι η $j$ στήλη του ταυτοτικού πίνακα, παράγει το χώρο $\mathbb R^n$.

Έστω πίνακας $A\in \mathbb R^{m\times n}$. Ορίσαμε

• το μηδενόχωρο, $\mathcal{N}(A)$, του $A$,

• τον χώρο στηλών, $\mathcal{R}(A)$, του $A$,

• τον αριστερό μηδενόχωρο, $\mathcal{N}(A^{\top})$, του $A$,

• τον χώρο γραμμών, $\mathcal{R}(A^{\top})$, του $A$.

Ορίσαμε την έννοια της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας ενός συνόλου διανυσμάτων. Ειδικότερα, το σύνολο διανυσμάτων $\{v_1,\ldots, v_k\}$ ονομάζεται γραμμικώς εξαρτημένο αν υπάρχουν αριθμοί $\lambda_1,\ldots, \lambda_k\in \mathbb R$, όχι όλοι ίσοι με $0$, τέτοιοι ώστε

$\lambda_1 v_1 + \cdots, \lambda_k v_k = 0,$

δηλαδή αν μπορούμε να γράψουμε το διάνυσμα $0$ ως γραμμικό συνδυασμό των $v_1,\ldots, v_k$ με μη τετριμμένο τρόπο (ο τετριμμένος είναι $0 = 0\cdot v_1 + \cdots 0\cdot v_k$). Το σύνολο ονομάζεται γραμμικώς ανεξάρτητο αν δεν είναι γραμμικώς εξαρτημένο, δηλαδή αν ο μόνος τρόπος να γράψει κανείς το $0$ ως γραμμικό σύνδυασμό των $v_1,\ldots, v_k$ είναι ο τετριμμένος.

Παρατηρήσαμε ότι αν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι γραμμικώς εξαρτημένο, τότε και κάθε υπερσύνολο του είναι επίσης γραμμικώς εξαρτημένο. Παρόμοια, αν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι γραμμικώς ανεξάρτητο, τότε και κάθε υποσύνολο του είναι γραμμικώς ανεξάρτητο.

Διαβάστε: Παρ. 3.1, 3.2 του βιβλίου [1].
Διαβάστε: Παρ. 3.2, 3.3 του βιβλίου [1].
Ασκήσεις: 2ο Φυλλάδιο (Ημ. παράδοσης 5/11/2024)

Είδαμε την έννοια της βάσης ενός διανυσματικού χώρου: είναι ένα σύνολο διανυσμάτων $S$ το οποίο παράγει το χώρο και είναι γραμμικώς ανεξάρτητο. Είδαμε ότι κάθε σύνολο $S$ το οποίο παράγει ένα χώρο $V$ έχει ένα (τουλάχιστον) υποσύνολο, το οποίο παράγει τον $V$ και είναι γραμμικώς ανεξάρτητο, δηλαδή είναι βάση του $V$.

Είδαμε το θεώρημα αντικατάστασης: Αν $\{u_1,\ldots, u_m\}$ είναι ένα γραμμικώς ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου $V$ και $\{v_1,\ldots,v_n\}$ είναι ένα σύνολο διανυσμάτων που παράγει τον $V$, τότε $m\leq n$. Από αυτό συμπεράναμε ότι δύο οποιεσδήποτε βάσεις του ίδιου χώρου $V$ έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, που ονομάζεται διάσταση του $V$ και συμβολίζεται $\dim V$.

Αν $U\leq V$ τότε

• $\dim U \leq \dim V$,

• $\dim U = 0$ αν και μόνο αν $U = \{0\}$ και

• $\dim U = \dim V$ αν και μόνο αν $U = V$.

Παρατηρήσαμε ότι αν ${\mathcal B}=\{v_1,\ldots, v_n\}$ είναι ένα σύνολο διανυσμάτων ενός χώρου $V$ και αν γνωρίζουμε ότι $\dim V = n$, τότε το σύνολο ${\mathcal B}$ είναι βάση του $V$ αν είναι γραμμικώς ανεξάρτητο ή αν είναι παράγον. Δηλαδή, αν το σύνολο ${\mathcal B}$ έχει πλήθος στοιχείων όση η διάσταση του χώρου, τότε αν ικανοποιείται μία από τις δύο ιδιότητες που ορίζουν τη βάση, ικανοποιείται απαραίτητα και η δεύτερη.

Είδαμε πώς μπορούμε να υπολογίζουμε μία βάση του χώρου στηλών και μία βάση του μηδενόχωρου ενός πίνακα $A\in \mathbb R^{m\times n}$.

Δείξαμε ότι $\dim \mathcal{N}(A) + \dim \mathcal{R}(A) = n$.

Διαβάστε: Παρ. 3.3 από το βιβλίο [1].
Διαβάστε: Παρ. 3.4, 3.5 από το βιβλίο [1].

Αν $V, W$ είναι διανυσματικοί χώροι, μία απεικόνιση $L : V\longrightarrow W$ ονομάζεται γραμμική αν για κάθε $x,y\in V$ και κάθε $\lambda \in \mathbb R$

1. $L(x+y) = L(x) + L(y)$

2. $L(\lambda x) = \lambda L(x)$.

Από τις δύο παραπάνω συνθήκες συμπαραίνουμε ότι για κάθε $x_1,\ldots, x_k\in V$ και κάθε $\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in \mathbb R$ έχουμε

$L(\lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_k x_k) = \lambda_1 L(x_1) +\cdots + \lambda_k L(x_k).$

Δείξαμε ότι κάθε πίνακας $A\in \mathbb R^{m\times n}$ ορίζει τη γραμμική απεικόνιση

$L_A : \mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R^m,\ \ L_A(x) = Ax.$

Αντίστροφα, για μία (οποιαδήποτε) δεδομένη γραμμική απεικόνιση $L : \mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^m$ υπάρχει ένας μοναδικός πίνακας $A\in \mathbb R^{m\times n}$ τέτοιος ώστε $L(x) = Ax$ για κάθε $x\in \mathbb R^n$. Ο πίνακας αυτός ονομάζεται πίνακας της $L$ και συμβολίζεται $[L]$. Όπως είδαμε, οι στήλες του $[L]$ είναι τα διανύσματα $L(e_j)$, $j=1,\ldots, n$, όπου $\{e_1,\ldots, e_n\}$ είναι η κανονική βάση του $\mathbb R^n$.

Είδαμε ότι για μία γραμμική απεικόνιση $L : V\rightarrow W$ και μία δεδομένη βάση $\mathcal{A} = \{v_1,\ldots, v_n\}$ του $V$, οι τιμές $L(v_j)$, $j=1,\ldots n$ καθορίζουν την $L$. Αν καθορίσουμε και μία βάση $\mathcal{B} = \{w_1,\ldots, w_m\}$ του $W$, τότε μπορούμε να γράψουμε

$L(v_j) = a_{1j} w_1 + \cdots + a_{mj} w_m,\ \ \ j=1,\ldots, n.$

Ο πίνακας $A = (a_{ij})\in \mathbb R^{m\times n}$ ονομάζεται πίνακας της $L$ ως προς τις βάσεις $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ και συμβολίζεται $[L]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}$. Ο πίνακας της $L$ που ορίσαμε παραπάνω είναι ο πίνακας ως προς τις κανονκές βάσεις των χώρων $\mathbb R^n$ και $\mathbb R^m$.

Διαβάστε: Παρ. 4.1 από το βιβλίο [1].
Ασκήσεις: 3ο Φυλλάδιο (Ημ. παράδοσης 19/11/2024)

Θεωρούμε τους χώρους $\mathbb R^n, \mathbb R^m, \mathbb R^k$ και τις βάσεις $\mathcal{A} ,\mathcal{B}, \mathcal{C}$ αντίστοιχα. Είδαμε ότι αν

$f : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m\ \ \ g : \mathbb R^m \rightarrow \mathbb R^k$

είναι γραμμικές απεικονίσεις, τότε η σύνθεση τους $g\circ f : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^k$ με τύπο $g\circ f(x) = g(f(x))$ είναι γραμμική και

$[g\circ f]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{C}} = [g]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \cdot [f]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}.$

Ορίσαμε πότε μία γραμμική απεικόνιση είναι ένα-προς-ένα και πότε είναι επί. Είδαμε ότι αν μία γραμμική απεικόνιση $f : \mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n$ είναι συγχρόνως ένα-προς-ένα και επί, τότε ονομάζεται ισομορφισμός και είναι αντιστέψιμη: υπάρχει μία μοναδική γραμμική απεικόνιση $f^{-1}$ τέτοια ώστε $f\circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}$.

Παρατηρήσαμε ότι αν $\mathcal{A}$ είναι μία βάση του $\mathbb R^n$ τότε $[\mathrm{id}]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} = I_n$. Αυτό μας δίνει $[f^{-1}]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} = ([f]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}})^{-1}$.

Αν $f : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$ και $v\in \mathbb R^n$, τότε $[f(v)]_{\mathcal{B}} = [f]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} \cdot [v]_{\mathcal{A}}$, όπου $[v]_{\mathcal{A}}$, $[f(v)]_{\mathcal{B}}$ είναι τα διανύσματα των συντεταγμένων των διανυσμάτων $v, f(v)$ ως προς τις βάσεις $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ αντίστοιχα.

Ορίσαμε την έννοια του πυρήνα (kernel) και της εικόνας (image) μίας γραμμικής απεικόνισης $f : \mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^m$:

$\mathrm{ker}(f) = \{v\in \mathbb R^n : f(v) = 0\},$ $\mathrm{im}(f) = \{f(v) : v\in \mathbb R^n\}.$

Δείξαμε ότι $\mathrm{ker}(f) = \mathcal{N}([f])$ και $\mathrm{im}(f) = \mathcal{R}([f])$, οπότε

$\dim \mathrm{ker}(f) + \dim \mathrm{im}(f) = n.$

Διαβάστε: Παρ. 4.2, 4.3 από το βιβλίο [1].

Δείξαμε ότι δύο διανυσματικοί χώροι $V, W$, οι οποίοι έχουν την ίδια διάσταση, είναι ισόμορφοι. Ειδικότερα, αν $\{v_1,\ldots, v_n\}$ και $\{w_1,\ldots, w_n\}$ είναι βάσεις των $V, W$ αντίστοιχα, η γραμμική απεικόνιση $f : V\rightarrow W$ με $f(v_j) = w_j$, $1\leq j\leq n$ είναι ισομορφισμός.

Ορίσαμε την έννοια της οριζουσιακής απεικόνισης $\det : \mathbb R^{n\times n} \rightarrow \mathbb R$. Η ορίζουσα του πίνακα $A=(a_{ij})\in \mathbb R^{n\times n}$ δίνεται από τον τύπο

$\det(A)=(−1)^{i+1} a_{i1} \det(A_{i1})+(−1)^{i+2} a_{i2} \det(A_{i2})+\cdots+(−1)^{i+j} a_{ij} \det(A_{ij})+\cdots+(−1)^{i+n} a_{in} \det(A_{in}),$

όπου $A_{ij}$ είναι ο ελάσσονας πίνακας του στοιχείου $a_{ij}$ (είναι ο $(n−1) \times (n−1)$ πίνακας που προκύπτει από τον $A$ αν διαγράψουμε την $i$ γραμμή και τη $j$ στήλη). Ο παραπάνω τύπος ονομάζεται και ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς την $i$ γραμμή. Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο ανεξάρτητα από τη γραμμή ως προς την οποία θα πάρουμε το ανάπτυγμα.

Είδαμε βασικές ιδιότητες:

1. $\det(r_1,\ldots,r'_i + \lambda r''_i,\ldots,r_n)=\det(r_1,\ldots,r'_i,\ldots,r_n)+ \lambda \det(r_1,\ldots,r''_i,\ldots,r_n)$

2. Αν δύο οποιεσδήποτε γραμμές ενός πίνακα $A$ είναι ίσες, τότε $\det(A)=0$.

3. $\det(I_n)=1$

Από τις τρεις αυτές ιδιότητες προκύτουν οι παρακάτω επιπλέον ιδιότητες:

4. Αν ο πίνακας $B$ προκύπτει από τον πίνακα $A$ με εναλλαγή δύο γραμμών, τότε $\det(B) = -\det(A)$

5. Αν ο πίνακας $B$ προκύπτει από τον πίνακα $A$ προσθέτοντας στην γραμμή $i$ ένα πολλαπλάσιο της γραμμής $j$, τότε $\det(B)=\det(A)$

6. $\det(A B)=\det(A)\cdot \det(B)$

7. $\det(\lambda A)=\lambda^n \det(A)$

8. Αν ο πίνακας $A$ είναι άνω (ή κάτω) τριγωνικός, τότε η ορίζουσα του είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου.

9. $\det(A^{\top})=\det(A)$

Ο ιδιότητες 4,5 μας δείχνουν ότι κατά την απαλοιφή Gauss οι διαδοχικοί πίνακες είτε έχουν είτε ίση ή αντίθετη ορίζουσα. Η ιδιότητα 8 μας επιτρέπει να υπολογίζουμε την ορίζουσα του άνω τριγωνικού πίνακα στον οποίο καταλήγουμε.

Η ιδιότητα 9 μας λέει ότι μπορούμε να αναπτύσουμε και ως προς στήλες. Επίσης, μπορούμε να εφαρμόσουμε τις ιδιότητες 1, 2, 4, 5 για τις στήλες του πίνακα.

Είδαμε τη μέθοδο του Cramer για επίλυση τετραγωνικών συστημάτων.

Διαβάστε: Παρ. 2.3 από το βιβλίο [1].
Ασκήσεις: 4ο Φυλλάδιο (Ημ. παράδοσης 5/12/2024)

Λύσαμε ασκήσεις.

Ορίσαμε την έννοια της ιδιοτιμής μία γραμμικής απεικόνισης και ενός τετραγωνικού πίνακα. Έστω $f : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n$ μία γραμμική απεικόνιση. Ιδιοτιμή της $f$ ονομάζεται κάθε αριθμός $\lambda\in \mathbb{C}$ τέτοιος ώστε $f(v) = \lambda v$ για κάποιο μη μηδενικό διάνυσμα $v$. Αντίστοιχα, ιδιοτιμή ενός πίνακα $A\in \mathbb R^{n\times n}$ ονομάζεται κάθε αριθμός $\lambda$ τέτοιος ώστε $A v = \lambda v$ για κάποιο μη μηδενικό διάνυσμα $v$. Το διάνυσμα $v$ ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα της $f$ (ή του $A$) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $\lambda$.

To σύνολο $E(\lambda, f) = \{v\in \mathbb R^n : f(v) = \lambda v\}$ είναι υπόχωρος του $\mathbb R^n$ και ονομάζεται ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $\lambda$. Αντίστοιχα ορίζεται ο ιδιόχωρός ενός πίνακα.

Παρατηρήσαμε ότι το $\lambda$ είναι ιδιοτιμή της $f$ αν και μόνο αν είναι ιδοτιμή του πίνακα της $f$.

Δείξαμε ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:

1. Το $\lambda$ είναι ιδιοτιμή του πίνακα $A$

2. Υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα $v\in \mathcal{N}(A-\lambda I)$

3. Ο πίνακας $A-\lambda I$ είναι μη αντιστρέψιμος

4. $\det(A-\lambda I) = 0$

Είδαμε ότι $E(\lambda, A) = \mathcal{N}(A-\lambda I)$.

Ορίσαμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα $A=(a_{ij}) \in \mathbb R^{n\times n}$

$\chi_A(x) = \det(A - x I)$

και δείξαμε ότι

$\chi_A(x) = (-1)^n x^n + (-1)^{n-1}(a_{11}+\cdots + a_{nn}) x^{n-1}+\cdots+\det(A).$

Είδαμε ότι πάνω από το $\mathbb{C}$, το $\chi_A(x)$ έχει $n$ ρίζες (μετρώντας με πολλαπλότητα), οπότε

$\chi_A(x) = (-1)^n (x-\lambda_1)\cdots (x-\lambda_n),$

για κάποια $\lambda_1,\ldots, \lambda_n\in \mathbb{C}$ (όχι κατ' ανάγκη διαφορετικά μεταξύ τους).

Συγκρίνοντας τις δύο παραπάνω παραστάσεις του $\chi_A(x)$, βλέπουμε ότι

$\lambda_1 +\cdots + \lambda_n = a_{11}+\cdots + a_{nn}$

και

$\lambda_1 \cdots \lambda_n = \det(A).$

Διαβάστε: Παρ. 5.1, 5.2 από το βιβλίο [1].

Αν $\lambda_1,\ldots, \lambda_k\in \mathbb{R}$ είναι οι (πραγματικές) ιδιοτιμές του πίνακα $A\in \mathbb R^{n\times n}$, τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο παραγοντοποιείται ως $\chi_A(x) = (-1)^n (x-\lambda_1)^{n_1} \cdots (x-\lambda_k)^{n_k}\ g(x)$, όπου $g(x)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $n - (n_1+\cdots+n_k)$, το οποίο δεν έχει πραγματικές ρίζες. Ο αριθμός $n_i$ ονομάζεται αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής $\lambda_i$. Η διάσταση $m_i = \dim E(\lambda_i, A)$ ονομάζεται γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής $\lambda_i$. Για κάθε πίνακα $A$ και κάθε ιδιοτιμή $\lambda_i$ ισχύει $n_i \geq m_i$ (η αλγεβρική πολλαπλότητα είναι μεγαλύτερη ή ίση της γεωμετρικής πολλαπλότητας).

Δύο πίνακες $A, B\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ονομάζονται όμοιοι εάν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας $P\in \mathbb{R}^{n\times n}$ τέτοιος ώστε $B = P^{-1} A P$. Είδαμε ότι αν $L : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ είναι γραμμική και $\mathcal{B}$ είναι μία βάση του $\mathbb{R}^n$, τότε οι πίνακες $B = [L]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{E}}$ και $A = [L]$ είναι όμοιοι και ειδικότερα $B = P^{-1} A P$, όπου $P$ είναι ο πίνακας με στήλες τα διανύσματα της βάσης $\mathcal{B}$.

Ένας πίνακας $A$ ονομάζεται διαγωνιοποιήσιμος εάν υπάρχει διαγώνιος πίνακας $D$ και αντιστρέψιμος πίνακας $P$ τέτοιοι ώστε $A = P^{-1} D P$. Ένας πίνακας $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ είναι διαγωνιοποιήσιμος αν και μόνο αν υπάρχει μία βάση $\mathcal{B}$ του $\mathbb{R}^n$ αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του $A$. Είδαμε ότι η συνθήκη αυτή ικανοποιείται αν και μόνο αν $m_1+\cdots m_k = n$, όπου $\lambda_1,\ldots, \lambda_k$ είναι οι διακεκριμένες ιδιοτιμές του $A$ και $m_1,\ldots, m_k$ είναι οι αντίστοιχες γεωμετρικές πολλαπλότητες. Παρατηρήσαμε ότι στην περίπτωση που ο πίνακας είναι διαγωνιοποιήσιμος, $m_i = n_i$ για κάθε ιδιοτιμή. Επίσης, παρατηρήσαμε ότι αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο αναλύεται ως $\chi_A(x) = (x-\lambda_1)\cdots (x-\lambda_n)$, τότε $1\leq m_i \leq n_i = 1$, οπότε $n = m_1+\cdots+m_n$ και ο πίνακας είναι διανωνιοποιήσιμος. Είδαμε παραδείγματα.

Διαβάστε: Παρ. 5.3 από το βιβλίο [1].

Λύσαμε ασκήσεις πάνω σε ιδιοτιμές και διαγωνιοποίηση πινάκων.