ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Μεταπτυχιακό Μάθημα Α21

Φθινόπωρο 2025

Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης

• Διαλέξεις: Δευτέρα και Τετάρτη 11:00 – 13:00. Αίθουσα Β212

• Προαπαιτούμενες γνώσεις: (1) Κεφάλαιο 1 και Παραρτήματα Α και Β από τις σημειώσεις μου της Θεωρίας Σωμάτων. (2) Θα βοηθούσε πολύ η έστω και επιφανειακή γνώση των ενοτήτων
  1.1 – 1.4 από τις σημειώσεις μου της Θεωρίας Δακτυλίων.

• Σημειώσεις Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών. Θα ενημερώνονται τακτικά κατά τη διάρκεια του εξαμήνου.

• Βοηθήματα: Algebraic Extensions, από το Algebraic Supplement του βιβλίου Number Theory των Z.I. Borevich και I.R. Shafarevich, Vol. 20, Pure & Applied Mathematics, Academic Press.
  
  
  

1η εβδομάδα, 24-26 Σεπτεμβρίου.

• Ενότητες ΙΙ.1 και ΙΙ.2 (Κεφάλαιο ΙΙ) των σημειώσεων, μέχρι το Θεώρημα ΙΙ.2.3.

• Ασκήσεις που αντιστοιχούν σε αυτή την ύλη: 1, 2 και 3, της ενότητας ΙΙ.4.

• Προηγούμενες γνώσεις από άλλα προπτυχιακά μαθήματα που χρειάσθηκαν αυτή την εβδομάδα, πέραν των πολύ βασικών: Από τη Θεωρία Σωμάτων, Ορισμός 1.4.1 και Θεώρημα 1.4.2· Παράρτημα Β'.2 (πολυώνυμα) μέχρι και την Πρόταση Β'.5.
  Από το διαδίκτυο, Τύποι του Vieta.

2η εβδομάδα, 1-3 Οκτωβρίου. Δεν έγιναν μαθήματα λόγω ασθενείας. Θα αναπληρωθούν τις Τρίτες 14/10, ώρα 1-3 και 21/10, ώρα 1-3.

3η εβδομάδα, 8-10 Οκτωβρίου.

• Ίχνος, στάθμη (norm) και χαρακτηριστικό πολυώνυμο στοιχείου μιας πεπερασμένης επέκτασης σωμάτων. Διακρίνουσα βάσης μιας πεπερασμένης επέκτασης σωμάτων. Σε συνοπτική μορφή περιέχονται στις ενότητες 2.2 (πλην Θεωρήματος 8) και 2.3, μέχρι και τον δεύτερο ορισμό της σελίδας 403 του Algebraic Extensions.

• Ενότητα ΙΙ.1 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

• Ασκήσεις 1, 2, 3 της ενότητας ΙΙ.4 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

4η εβδομάδα, 14-17 Οκτωβρίου.

• Οι αλγεβρικοί ακέραιοι αριθμητικών σωμάτων. Ενότητα ΙΙ.2 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

• Ασκήσεις 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13 της ενότητας ΙΙ.4 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

5η εβδομάδα, 21-24 Οκτωβρίου.

• Κάποια θεωρήματα για τα modules. Κεφάλαιο ΙIΙ των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

• Αριθμητική των ιδεωδών. Ενότητες IV.1 και IV.2 του κεφαλαίου IV των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

• Ασκήσεις 1, 2, 3, 4 της ενότητας IV.8 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

6η εβδομάδα, 29-31 Οκτωβρίου.

• Μονότροπη ανάλυση κλασματικών ιδεωδών σε περιοχή Dedekind. Ενότητα IV.3 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

• Ασκήσεις 5, 6, 7, 8, 9 της ενότητας IV.8 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

7η εβδομάδα, 5-7 Νοεμβρίου.

• Διαιρετότητα ιδεωδών και στάθμη (norm) ιδεώδους σε αριθμητικά σώματα. Ενότητες IV.4 και IV.5 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

• Ασκήσεις 10, 11, 12 της ενότητας IV.8 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

8η εβδομάδα, 12-14 Νοεμβρίου.

• Aνάλυση ρητού πρώτου σε γινόμενο πρώτων ιδεωδών και Θεωρήματα χρήσιμα σε εφαρμογές. Ενότητα IV.7 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών μέχρι και την εκφώνηση του Θεωρήματος IV.7.8.

9η εβδομάδα, 19-21 Νοεμβρίου.

• Από τις Σημειώσεις Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών, η απόδειξη του Θεωρήματος IV.7.8 και το Θεώρημα IV.8.1.

10η εβδομάδα, 25-28 Νοεμβρίου.

• Εφαρμόσθηκαν οι μέχρι τώρα γνώσεις στη Διοφαντική εξίσωση (ακέραιες λύσεις) y² = 2x³ - 5. Εξ αφορμής αυτής, δείξαμε την ανάγκη εισαγωγής της έννοιας της ομάδας κλάσεων ιδεωδών και με τη βοήθεια του ότι αυτή, στην περίπτωση του αριθμητικού σώματος Q(√-5) είναι τάξεως 2, ολοκληρώσαμε τη λύση, αποδεικνύοντας ότι οι μόνες ακέραιες λύσεις είναι (x,y) = (3, ±7).

• Η ομάδα κλάσεων ιδεωδών. Ενότητα V.3 του Κεφαλαίου V των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών. Η μελέτη της απαιτεί την γεωμετρική αναπαράσταση ενός αριθμητικού σώματος βαθμού n, στον Ευκλείδειο χώρο Rn και τη μελέτη των δικτυωτών (lattices) του Rn. Ενότητες V.1 και V.2 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

11η εβδομάδα, 3-5 Δεκεμβρίου.

• Απόδειξη του Minkowski (Θεώρημα V.1.5 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών) και οι προηγούμενα από αυτό Λήμμα V.1.2 και Πρόταση V.1.4.

• Απόδειξη του σημαντικού Θεωρήματος V.3.4: «Η ομάδα των κλάσεων ιδεωδών είναι πεπερασμένη Αβελιανή».

• Λύθηκε αρκετά λεπτομερώς η άσκηση 1 της ενότητας V.6 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.

• Αναπτύχθηκε η ενότητα V.4 (Ανάλυση σε ανάγωγα στοιχεία) των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών. Εδώ χρησιμοποιούνται έννοιες και προτάσεις που βρίσκονται στις σημειώσεις μου της Θεωρίας Δακτυλίων.

• Λύθηκε αρκετά λεπτομερώς η άσκηση 2 της ενότητας V.6.

12η εβδομάδα, 10-12 Δεκεμβρίου.

• Η ομάδα των μονάδων και το Θεώρημα Μονάδων του Dirichlet (Ενότητα V.5 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών).

• Απόδειξη της «πρώτη περίπτωσης» του Θεωρήματος Fermat x^p + y^p = z^p, για κανονικούς (regular) πρώτους p > 3. (Ενότητα VI.5 των Σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών).

13η εβδομάδα, 17-19 Δεκεμβρίου.

• Πώς εφαρμόζεται η Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών στην επίλυση μιας Διοφαντικής εξίσωσης. Λεπτομερής παρουσίαση της επίλυσης των Διοφαντικών εξισώσεων x² +5y² = 6z² και x²+5y²=6z³. Ενότητα VI.1 των σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών).

• Αναπαράσταση πρώτου από δυαδική τετραγωνική μορφή. Λεπτομερής συζήτηση για τους περιττούς πρώτους της μορφής p = 2x² + 5y². Ενότητα VI.1 των σημειώσεων Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών).

Τελευταία ενημέρωση: 3-1-2026