Ομότιμος Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης
Εαρινό Εξάμηνο 2024
Διαλέξεις στην αίθουσα Ε 204: Τρίτη 11:15' -13:00' και Πέμπτη 11:15' -13:00'
Ώρες γραφείου (γραφείο Γ 313): Μετά το μάθημα
Ανακοίνωση (20 Μαρτίου):
Θα γίνει προαιρετική εξέταση προόδου
τo Σάββατο 30/3, ώρα 11:00'
(δείτε παρακάτω «Εξεταστικό σύστημα»)
Τα
θέματα της Εξέτασης Προόδου
Βαθμολογία
Εξέτασης Προόδου
Αποτελέσματα
της Εξέτασης του Ιουνίου
Περιγραφή
του μαθήματος
Αδρή
περιγραφή της ύλης:
Επεκτάσεις σωμάτων. Βάση και διάσταση μιας επέκτασης. Πεπερασμένες και άπειρες επεκτάσεις. Αλγεβρικοί και υπερβατικοί αριθμοί.
Πεπερασμένα σώματα.
Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη.
Σώμα ριζών πολυωνύμου.
Η ομάδα των αυτομορφισμών μιας επέκτασης. Αντιστοιχία Galois.
Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois. Επιλυσιμότητα πολυωνυμικής εξίσωσης με ριζικά. Δεν υπάρχει τύπος, που να λύνει τη γενική πεμπτοβάθμια εξίσωση, χρησιμοποιώντας τις τέσσερις πράξεις της Αριθμητικής και ριζικά.
Για ποιους ακεραίους n είναι δυνατή η κατασκευή του κανονικού n-γώνου, με κανόνα και διαβήτη.
Βιβλία-Σημειώσεις
Κατά βάση, θα ακολουθήσομε
τις Σημειώσεις
Ν.Γ. Τζανάκη.
Για
συμπληρωματική μελέτη σας παραπέμπω
στα παρακάτω συγγράμματα:
J.B. Fraleigh, Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 1994. Κεφάλαια 7 και 8.
J. Rotman, Θεωρία Galois, Leader Books, Αθήνα 2000.
Απαιτήσεις. Το μάθημα είναι προχωρημένο. Απαιτεί καλή γνώση της Άλγεβρας Ι. Η γνώση της Άλγεβρας ΙΙ θα σας ήταν πολύ χρήσιμη. Μη γραφτείτε στο μάθημα αν δεν μπορείτε να το παρακολουθείτε συστηματικά
Εξεταστικό
σύστημα.
Για τον βαθμό του Ιουνίου: Μία προαιρετική
πρόοδος και μία τελική εξέταση κατά
την εξεταστική περίοδο του Ιουνίου.
Αν ο βαθμός προόδου είναι Π και ο βαθμός
της τελικής εξέτασης είναι Τ, τότε ο
τελικός βαθμός του Ιουνίου θα είναι
max{Τ, 0.3*Π + 0.7*Τ}.
Ο βαθμός της προόδου δεν θα έχει συμμετοχή
στην εξέταση του
Σεπτεμβρίου.
Εξέταση Ιουνίου (14/6): Κανονισμός
σχετικά με τη χρήση βοηθητικών σημειώσεων
Ημερολόγιο του μαθήματος
Σε
κάθε μία από τις επόμενες εβδομάδες θα
αναρτάται η ύλη που διδάχθηκε εκείνη
την εβδομάδα.
Πρόκειται
για σύντομη περιγραφή της ύλης και όχι
για διδακτικές σημειώσεις και δεν
υποκαθιστά την παρακολούθηση.
Είναι χρησιμώτατη, αλλά κυρίως για
όσους παρακολουθούν τις διαλέξεις.
Θα
αναρτώνται, επίσης, ασκήσεις, μερικές
από τις οποίες θα λύνονται στο μάθημα
των ασκήσεων. Οι υπόλοιπες είναι για
δική σας μελέτη
Χρήσιμη Αλγεβρική Εργαλειοθήκη (τελευταία ενημέρωση 12-3-2016)
1η
Εβδομάδα:
12-16 Φεβρουαρίου. Συζητήθηκαν
θέματα που περιέχονται στα Παραρτήματα
Α', Β' και Γ' των Σημειώσεων.
Πολύ σημαντικό το Θεώρημα
Α'.5.
2η
Εβδομάδα:
19-23 Φεβρουαρίου. Ολοκληρώθηκε
η ενότητα 1.1 των
Σημειώσεων
και
έγινε μια εισαγωγή στο θέμα των γεωμετρικών
κατασκευών με κανόνα και διαβήτη.
Ισχυρή
σύσταση: Λύστε τις ασκήσεις που βρίσκονται
στο τέλος της ενότητας 1.1.
3η
Εβδομάδα:
26 Φεβρουαρίου - 1 Μαρτίου. Από
τις Σημειώσεις
ολοκληρώθηκαν οι ενότητες 1.2 και 1.3 και
προχωρήσαμε στην ενότητα 1.4 μέχρι και
το Θεώρημα 1.4.2.
Έγινε μια σημαντική προσθήκη στο
παράρτημα Β' των Σημειώσεων. Ανανεώστε
τις Σημειώσεις
και δείτε
την παράγραφο Β'
1.
Ισχυρή
σύσταση: Λύστε τις ασκήσεις που βρίσκονται
στο τέλος της ενότητας 1.2 και 1.3.
4η
Εβδομάδα:
4-8 Μαρτίου. Ολοκληρώθηκε
η ενότητα 1.4 των
Σημειώσεων.
Ισχυρή
σύσταση: Λύστε τις ασκήσεις που βρίσκονται
στο τέλος της ενότητας 1.4.
5η Εβδομάδα: 11-15 Μαρτίου. Λύθηκαν λεπτομερώς κάποιες ασκήσεις της ενότητας 1.4.
6η
Εβδομάδα:
18-22 Μαρτίου. Εισαγωγή
στη Θεωρία Galois (ενότητα
2.1 των
Σημειώσεων).
Συζητήθηκαν λεπτομερώς τα τρία
παραδείγματα αυτής της
ενότητας.
Ισχυρή
σύσταση: Λύστε τις ασκήσεις που βρίσκονται
στο τέλος της ενότητας 2.1.
Ιδιαιτέρως οι ασκήσεις 3,
5,
και 6
θα σας βοηθήσουν πάρα πολύ στην κατανόηση
της έννοιας «ομάδα Galois πολυωνύμου».
7η Εβδομάδα: 25-29 Μαρτίου. Ενότητα 2.2 των Σημειώσεων μέχρι και το Παράδειγμα 1.
8η
Εβδομάδα:
1-5 Απριλίου. Παραδείγματα
της αντιστοιχίας Galois και εφαρμογή σε
αυτά του Θεμελιώδους Θεωρήματος της
Θεωρίας Galois. Ολοκληρώθηκε η ενότητα 2.2
των
Σημειώσεων.
Συνιστώμενες ασκήσεις: 1, 3, 4, 5 και 6 της
ενότητας 2.2
9η
Εβδομάδα:
8-12 Απριλίου. Εφαρμογή
της Θεωρίας Galois στην κατασκευή κανονικών
πολυγώνων. Λεπτομερής απόδειξη του
Θεωρήματος 2.3.2 των
Σημειώσεων.
Στο θεώρημα αυτό γίνεται χρήση των
προτάσεων (α') και (γ') της υποενότητας
2.4.1των σημειώσεων.
Συζητήθηκε, επίσης, η κατασκευασιμότητα
του κανονικού n-γώνου. Δείτε τις σελίδες
74-75 των σημειώσεών
μου του μεταπτυχιακού μαθήματος Άλγεβρα
ΙΙ.
Αν ενδιαφέρεστε για την κατασκευή του
κανονικού 17-γώνου (εκτός εξεταστέας
ύλης) δείτε στις ίδιες σημειώσεις τις
σελίδες 75-76.
10η
Εβδομάδα:
15-19 Απριλίου. Επίλυση
πολυωνυμικών εξισώσεων με ριζικά.
Ενότητα 2.4 των Σημειώσεων,
δίχως την Πρόταση 2.4.8, τον Ορισμό 2.4.9 και
τα Θεωρήματα 2.4.10, 2.4.11 και 2.4.12, τα οποία
θα διδαχθούν την επόμενη εβδομάδα.
Διδάχθηκε η
υπο-ενότητα 2.4.1 με τις βοηθητικές
προτάσεις.
11η
Εβδομάδα:
24-26 Απριλίου. Από
την ενότητα 2.4 των Σημειώσεων,
η
Πρόταση 2.4.8 και τα Θεωρήματα 2.4.10, 2.4.11
και 2.4.12.
Από την ενότητα 2.3 των Σημειώσεων,
η Πρόταση 2.3.1, το Θεώρημα 2.3.2 και οι
Προτάσεις 2.3.5, 2.3.6, 2.3.7 και το Θεώρημα
2.3.4 (Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας).
Να
λύσετε τις λίγες ασκήσεις των ενοτήτων
2.3 και 2.4.
Διακοπές
του Πάσχα
12η
Εβδομάδα:
13-17 Μαΐου. Μελέτη
του τεταρτοβάθμιου πολυωνύμου, ενότητα
2.5 των Σημειώσεων,
μέχρι
και το Θεώρημα 2.5.6. Δείτε τις ασκήσεις
της ενότητας 2.5. Την άσκηση 3 λύσαμε στο
μάθημα.
Αν ενδιαφέρεστε για τύπους ριζών του
τεταρτοβάθμιου πολυωνύμου, με ριζικά,
δείτε την υποενότητα 2.5.1.
13η
Εβδομάδα:
20-24 Μαΐου. Ασκήσεις
επανάληψης, ενότητα 2.6 των Σημειώσεων.
Λύσαμε και συζητήσαμε με κάθε λεπτομέρεια
τις ασκήσεις 3 και 4.
Εξέταση Ιουνίου
14/6, αίθουσα Α214, 9:00' - 12:00'
Κανονισμός
σχετικά με τη χρήση βοηθητικών σημειώσεων
Αποτελέσματα
της Εξέτασης του Ιουνίου
Τελευταία ενημέρωση: 19-6-2024