Θεωρία Αριθμών (MΕΜ 204)

Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης

Εαρινό Εξάμηνο 2019

Διαλέξεις στην αίθουσα Ε 204: Δευτέρα  και Πέμπτη 1:00'-3:00'

  Ώρες γραφείου (γραφείο Γ 313):  Πέμπτη 12:00'-1:00'

Για απορίες που προέκυψαν από τη μελέτη σας θα υπάρξει συνάντηση

Τετάρτη 29 Μαΐου, ώρα 12, στην αίθουσα Β212

• Περιγραφή του μαθήματος
  Αδρή περιγραφή της ύλης:

  • Διαιρετότητα. Ευκλείδειος αλγόριθμος. ΜΚΔ, ΕΚΠ.  Πρώτοι αριθμοί. Ανάλυση ακεραίου σε πρώτους παράγοντες. Επίλυση της Διοφαντικής εξίσωσης ax + by = c. Πυθαγόρειες τριάδες.

  • Ισοτιμίες. Συστήματα υπολοίπων. Θεωρήματα Fermat και Euler.

  • Επίλυση ισοτιμιών πρώτου βαθμού. Το "Κινέζικο Θεώρημα υπολοίπων". 

  • Τετραγωνικά ισοϋπόλοιπα και ανισοϋπόλοιπα. Τα σύμβολα Legendre και Jacobi. Νόμος τετραγωνικής αντιστροφής του Gauss. Επίλυση της τετραγωνικής ισοτιμίας μ' έναν άγνωστο.

  • Γεννήτορες και διακριτοί λογάριθμοι.

• Βιβλία-Σημειώσεις

                                     

• Εξεταστικό σύστημα. Μία ενδιάμεση εξέταση προόδου την Παρασκευή 22/3, ώρα 3 μ.μ., με ποσοστό 15% στον τελικό βαθμό και η εξέταση της περιόδου Μαΐου-Ιουνίου με ποσοστό 85% στον τελικό βαθμό. Κατά την εξεταστική περίοδο του Σεπτεμβρίου η εξέταση της προόδου δεν θα συμμετέχει στον βαθμό.
  
  
  

• Ημερολόγιο του μαθήματος

  Σε κάθε μία από τις επόμενες εβδομάδες θα αναρτάται η ύλη που διδάχθηκε εκείνη την εβδομάδα.
  Πρόκειται για σύντομη περιγραφή της ύλης και όχι για διδακτικές σημειώσεις και δεν υποκαθιστά την παρακολούθηση. Είναι χρησιμώτατη, αλλά κυρίως για όσους παρακολουθούν τις διαλέξεις.
  
  Θα αναρτώνται, επίσης, ασκήσεις, μερικές από τις οποίες θα λύνονται στο μάθημα των ασκήσεων. Οι υπόλοιπες είναι για δική σας μελέτη.

1^η Διδακτική Εβδομάδα: 4-8 Φεβρουαρίου.  Ενότητες 1.1  και 1.2 των σημειώσεων. Το (β') του Θεωρήματος 1.2.3 δεν διδάχθηκε. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. Είναι εύκολες και σκοπό έχουν να ελέγξετε αν έχετε κατανοήσει βασικές γνώσεις, γι' αυτό πρέπει να τις λύσετε τώρα. Αν δεν το κάνετε, πρέπει να σκεφθείτε σοβαρά αν έχει νόημα η εγγραφή σας στο μάθημα.                                 

2^η Διδακτική Εβδομάδα: 11-15 Φεβρουαρίου. Από τις σημειώσεις (έγιναν κάποιες αλλαγές στις 16/2/2019), η ενότητα 1.3 και από την ενότητα 1.4 μέχρι και την απόδειξη του Θεωρήματος 1.4.3. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. Είναι επιλεγμένες από τις ασκήσεις της ενότητας 1.6 σημειώσεων. Προσοχή! Κοιτάξτε την τελευταία έκδοση (16/2/2019 ή μεταγενέστερη) των σημειώσεων.       

3^η Διδακτική Εβδομάδα: 18-22 Φεβρουαρίου.  Από τις σημειώσεις (έγιναν κάποιες αλλαγές στις 23/2/2019, οι οποίες δεν επηρρεάζουν την ύλη ή την παρουσίαση του μαθήματος) συνεχίσαμε την ενότητα 1.3, μετά την απόδειξη του Θεωρήματος 1.4.3, μέχρι το τέλος. Λύσαμε την άσκηση 27 των σημειώσεων, ουσιαστικά, δηλαδή, δώσαμε τη βασική θεωρία για τη Διοφαντική εξίσωση ax + by = c. Ενότητα 1.5 - Πυθαγόρειες τριάδες. Στις ασκήσεις της ενότητας 1.6 προστέθηκαν κάποιες πιο δύσκολες, που απευθύνονται σε δυνατότερους λύτες (δεν είναι απαραίτητες στη μελέτη σας). Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. Προσοχή! Κάποιες παραπέμπουν σε ασκήσεις της ενότητας 1.6 των σημειώσεων. Κοιτάξτε την τελευταία έκδοση (16/2/2019 ή μεταγενέστερη).

4^η Διδακτική Εβδομάδα: 25 Φεβρουαρίου - 1 Μαρτίου. Ισοτιμίες. Ενότητες 2.1 και 2.2 των σημειώσεων, μέχρι και την απόδειξη του Θεωρήματος 2.2.4, αλλά δίχως την απόδειξη του Θεωρήματος 2.2.3, η οποία θα γίνει την επόμενη εβδομάδα. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας (16-3-2019: έγινε διόρθωση στην εκφώνηση της 3).

5^η Διδακτική Εβδομάδα: 4-8 Μαρτίου. Έγινε η απόδειξη του Θεωρήματος 2.2.3 και λύθηκαν αρκετές ασκήσεις από την ενότητα 2.5 των σημειώσεων. Διδάχθηκε επίσης η ενότητα 2.3 με αριθμητικά παραδείγματα. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας (18-3-2019: έγινε διόρθωση στην εκφώνηση της 1(γ). 21-3-2019: έγινε διόρθωση στην εκφώνηση της 4(α)).
6^η Διδακτική Εβδομάδα: 11 - 15 Μαρτίου. Η κρυπτογραφική μέθοδος RSA, ενότητα 2.4 των σημειώσεων. Επίλυση ισοτιμιών, ενότητες 3.1 και 3.2 των σημειώσεων. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. 

7^η Διδακτική Εβδομάδα: 18 - 22 Μαρτίου.  Το “Κινέζικο Θεώρημα υπολοίπων”, ενότητα 3.3 των σημειώσεων. Πολυωνυμικές ισοτιμίες με ένα άγνωστο, Θεώρημα 3.4.1 της ενότητας 3.4 των σημειώσεων (όχι το υπόλοιπο της ενότητας 3.4). Αποδείξαμε ως άσκηση το Θεώρημα του Wilson: Για κάθε πρώτο p, το (p-1)! είναι ισότιμο με -1(mod p).

Τετραγωνικά ισοϋπόλοιπα, ενότητες 4.1 και 4.2 των σημειώσεων, μέχρι και την απόδειξη της Πρότασης 4.2.1. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. 

Η εξέταση προόδου έγινε την Παρασκευή 22/3, στις 3 μ.μ. Η εξέταση θα περιελάμβανε την ύλη των σημειώσεων μέχρι και την ενότητα 3.2. Τα θέματα της εξέτασης προόδου: Ομάδα Α, Ομάδα Β. Υποδειγματικές λύσεις των πιο θεωρητικών θεμάτων.

8^η Διδακτική Εβδομάδα: 25 - 29 Μαρτίου.  “Συμπλήρωμα του νόμου τετραγωνικής αντιστροφής” (Θεώρημα 4.2.2) και “Νόμος τετραγωνικής αντιστροφής” (θεωρήματα 4.2.2 και 4.2.3 των σημειώσεων). Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. 

9^η Διδακτική Εβδομάδα: 1 - 5 Απριλίου. Το σύμβολο Jacobi. Επίλυση της ισοτιμίας x² = a (mod pⁿ) για p περιττό και (a,p)=1, ενότητες 4.3 και 4.4 (μέχρι και το Θεώρημα 4.4.1) των σημειώσεων. Αριθμητικά παραδείγματα. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. 

10^η Εβδομάδα: 8 - 12 Απριλίου. Επίλυση της ισοτιμίας x² = a (mod 2ⁿ) και της ισοτιμίας x² = a (mod m), με το m γενικής μορφής και (a,m)=1, Θεωρήματα 4.4.2 και 4.4.3 των σημειώσεων. Αριθμητικά παραδείγματα. Γεννήτορες (mod m), ενότητα 5.1 μέχρι και το Θεώρημα 5.1.3 των σημειώσεων. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. 

11^η Εβδομάδα: 15 - 19 Απριλίου.  Ολοκληρώθηκε η ενότητα 5.1 των σημειώσεων. Λύθηκαν οι ασκήσεις 13 και 16(α) των σημειώσεων. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. 

                   20 Απριλίου - 5 Μαΐου: Διακοπές του Πάσχα

12^η Διδακτική Εβδομάδα: 6 - 10 Μαΐου. Διακριτοί λογάριθμοι (ενότητα 5.2 των σημειώσεων). Ολοκληρώθηκε η θεωρία καί λύθηκαν οι ασκήσεις 1 και 2 του φυλλαδίου των ασκήσεων αυτής της εβδομάδας.  Αρχίσαμε τις ασκήσεις επανάληψης. Λύθηκαν οι ασκήσεις 1- 4 του φυλλαδίου των ασκήσεων αυτής της εβδομάδας. 

13^η Εβδομάδα: 13 - 27 Μαΐου. Ασκήσεις επανάληψης: Λύθηκαν οι εξής ασκήσεις: Η 5^η από τις ασκήσεις της 12^ης εβδομάδας και οι ασκήσεις 6, 7, 8, 12, 13, 15, 16, 17, 18 του φυλλαδίου των ασκήσεων αυτής της εβδομάδας. 

Θέματα της 1ης εξεταστικής περιόδου (30-5-2019): Ομάδα Α, Ομάδα Β.

Πολύ σοβαρά λάθη που συνάντησα κατά τη διόρθωση των γραπτών σας: Δείτε εδώ.

Θέματα της εξεταστικής περιόδου Σεπτεμβρίου (6-9-2019)

Τελευταία ενημέρωση: 9-9-2019