Θεωρία Δακτυλίων & Modules   (M2224)

Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης

Αποτελέσματα εξεταστικής περιόδου Σεπτεμβρίου 2014

Τα θέματα της εξεταστικής περιόδου Σεπτεμβρίου


Αποτελέσματα εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2014

Τα θέματα της εξεταστικής περιόδου Ιουνίου

         Εαρινό Εξάμηνο 2014
           Διαλέξεις : Δευτέρα 13:00'-15:00' και Τετάρτη 13:00'-15:00', Αίθουσα Α 208,
          
           Ώρες γραφείου (γραφείο Γ 313):   Παρασκευή 12:00' – 14:00'.


1η Εβδομάδα: 17-21 Φεβρουαρίου. Επαναλήψεις στην ύλη των δακτυλίων. Με λεπτομέρεια παρουσιάζονται μόνο κάποια “λεπτά” θέματα. Με ιδιαίτερη σχολαστικότητα παρουσιάστηκε η γενίκευση της έννοιας “υποδακτύλιος” και “υπόσωμα”:

Ο δακτύλιος S είναι υποδακτύλιος του δακτυλίου R αν υπάρχει μονομορφισμός δακτυλίων f: SR. Ανάλογα, το σώμα K είναι υπόσωμα του σώματος F αν υπάρχει μονομορφισμός σωμάτων f: KF.

Έγινε σχολαστικά η κατασκευή του σώματος πηλίκων μιας ακέραιας περιοχής. Βλ. ενότητα 3.5 στις σημειώσεις Νταή (αναλυτική παρουσίαση), ή ενότητα 2.7 του βιβλίου (β) (αρκετά συμπτυγμένη παρουσίαση), ή ενότητα 4.4 του βιβλίου (γ) (αναλυτική παρουσίαση).

Προτεινόμενες ασκήσεις αυτής της εβδομάδας: Τίς ασκήσεις αυτές πρέπει να μπορείτε να λύνετε με αρκετή άνεση. Αν όχι, τότε έχετε πρόβλημα και θα πρέπει να ξανασκεφτείτε σοβαρά αν θα πρέπει να κάνετε εγγραφή στο μάθημα!


2η Εβδομάδα: 24-28 Φεβρουαρίου. Πολυώνυμα. Προσεγγιστική περιγραφή της ύλης που διδάχθηκε:

3η Εβδομάδα: 3-7 Μαρτίου. Προσεγγιστική περιγραφή της ύλης που διδάχθηκε:

4η Εβδομάδα: 10-14 Μαρτίου. Προσεγγιστική περιγραφή της ύλης που διδάχθηκε:

5η Εβδομάδα: 17-21 Μαρτίου. Ολοκληρώθηκε η ύλη των ενοτήτων 1.1 – 1.3 των σημειώσεών μου. Η άσκηση 1.9 λύθηκε με κάθε λεπτομέρεια.

6η Εβδομάδα: 24-29 Μαρτίου. Ολοκληρώθηκε η ύλη των ενοτήτων 1.4 – 1.5 των σημειώσεών μου.

7η Εβδομάδα: 31 Μαρτίου - 4 Απριλίου. Ευκλείδειες Περιοχές. Αποδείχθηκαν τα βασικά αποτελέσματα. Αποδείχθηκε, επίσης, ότι η ακέραια περιοχή D={a+b-2 : a, b ακέραιοι} είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Βασισμένοι στην απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, σας ζητώ να αποδείξετε ότι και οι ακέραιες περιοχές {a+bi: a, b ακέραιοι} και {a+bω : a, b ακέραιοι}, όπου ω=(-1 +i3)/2 (μιγαδική κυβική ρίζα της μονάδος, είναι περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης. Αυτή η ύλη περιέχεται στην ενότητα 1.6 των σημειώσεών μου. Η ενότητα 5.4 των σημειώσεων του Δ. Νταή "Εισαγωγή στη Θεωρία Δακτυλίων" περιέχουν τη σχετική ύλη, αλλά και πολύ περισσότερη.

8η Εβδομάδα: 7-11 Απριλίου. Αποδείχθηκε ότι κάθε ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης (Πόρισμα 1.17 των σημειώσεών μου) και, ως εφαρμογή, επιλύθηκε η Διοφαντική εξίσωση x2+2=y3. Αποδείχθηκε ότι οι μοναδικές ακέραιες λύσεις της είναι (x,y)=(±5,3). Βλ. Παράδειγμα 3, μετά το Πόρισμα 1.17 των σημειώσεών μου. Συζητήθηκε η περίπτωση της, φαινομενικώς μόνο, παρόμοιας Διοφαντικής εξίσωσης x2+5=y3. Εξηγήσαμε γιατί, αν “μιμηθούμε” τη μέθοδο επίλυσης της προηγούμενης Διοφαντικής εξίσωσης, θα καταλήξομε στο συμπέρασμα ότι δεν έχει λύση, ενώ με απλή παρατήρηση διαπιστώνομε ότι έχει λύση την (x,y)=(7,4).
Μπήκαμε σε νέο κεφάλαιο:
Εφαρμογές των ιδεωδών. Δακτύλιος-πηλίκο (βλ. τα εισαγωγικά της ενότητας 2.6 του βιβλίου (β) μέχρι και το Παράδειγμα 2.6.4). Πρώτα και μεγιστικά (maximal) ιδεώδη (βλ. όλη την ενότητα 2.10 του βιβλίου (β)). Συνιστώ ισχυρά να μελετήσετε την ενότητα 2.7 της "Εισαγωγής στη Θεωρία Δακτυλίων" του Δ. Νταή.
Ως πρώτη εφαρμογή αποδείξαμε το εξής:
Θεώρημα. Αν το K είναι σώμα και το f(X) είναι ανάγωγο πολυώνυμο του K[X], βαθμού n>0, τότε υπάρχει σώμα L, με τις εξής ιδιότητες:

Βλ. Κεφάλαιο 2, ενότητα 2.1 των σημειώσεών μου.

9η Εβδομάδα: 28 Απριλίου - 2 Μαΐου. Απαλείφουσα (ενότητα 2.2 των σημειώσεών μου). Μικρή εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία (ενότητα 2.3 των σημειώσεών μου, μέχρι και την άσκηση 2.6).

10η Εβδομάδα: 5-9 Μαΐου. Μικρή εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία (ενότητα 2.3 των σημειώσεών μου, από την Πρόταση 2.7 μέχρι και το Θεώρημα 2.13).

11η Εβδομάδα: 12-16 Μαΐου. Μικρή εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία (ενότητα 2.3 των σημειώσεών μου, μέχρι και το Θεώρημα 2.16).

12η Εβδομάδα: 19-23 Μαΐου. Τη Δευτέρα 20/5, επομένη των εκλογών, δεν έγινε μάθημα, σύμφωνα με απόφαση της συγκλήτου. Την Τετάρτη ολοκληρώθηκε η Μικρή εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία. Ολοκληρώθηκε η ενότητα 2.3 καθώς και η μικρότερη ενότητα 2.4, με τίτλο "Το Nullstellensatz του Hilbert"των σημειώσεών μου

13η Εβδομάδα: 26-30 Μαΐου. Τη Δευτέρα 26/5, επομένη των ευρωεκλογών, δεν έγινε μάθημα, σύμφωνα με απόφαση της συγκλήτου. Εκτός από το μάθημα της Τετάρτης, έγινε συμπληρωματικό μάθημα και την Πέμπτη 29/5 το δίωρο 1-3.  Τα μαθήματα αυτών των δύο ημερών αφιερώθηκαν, αποκλειστικά, στη λύση ασκήσεων, όλες από τις σημειώσεις μου.  


Τελευταία ενημέρωση: 18-9-2014