Στάθης Φίλιππας

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών,     Πανεπιστήμιο Κρήτης,

Πανεπιστημιούπολη Βουτών, 70013 Ηράκλειο,

Γραφείο: Ε312,

E-mail: filippas@uoc.gr,    Τηλέφωνο: 2810393713

ΜΔΕ (μεταπτυχιακό)

Χειμερινό 2024

Αίθουσες, ωράριο, ώρες γραφείου.

Βιβλίο.

Θα χρησιμοποιήσουμε το βιβλίο "Partial Differential Equations" του L. C. Evans καθώς και σημειώσεις του κ. Τερσένοβ εδω . Ένα πολύ καλό βιβλίο για ελλειπτικές ΜΔΕ (σε υψηλότερο επίπεδο απο του μαθήματος) είναι το "Elliptic Partial Differential Equations of Second Order" των Gilbarg D. και Trudinger N. S..

Notes on Perron Method

Βαθμολόγηση.

Θα δοθούν φυλλάδια ασκήσεων και θα γίνει ένα τελικό διαγώνισμα.

Ημερολόγιο μαθήματος.

Εισαγωγή, βασικές ΜΔΕ, Θεμελιώδης λύση Λαπλασιανής, αρμονικές συναρτήσεις, ιδιότητες αρμονικών συναρτήσεων.

  • Φυλλάδιο 1

    Iδιότητες αρμονικών συναρτήσεων (συνέχεια). Συνάρτηση Green. Κατασκευή συνάρτησης Green για ημίχωρο και μπάλα. Τύποι Poisson. Συνεχείς υφαρμονικές συναρτήσεις. Υπαρξη αρμονικών συναρτήσεων με δεδομένες συνοριακές τιμές με τη μέθοδο Perron.

  • Φυλλάδιο 2

    Γενικός ελλειπτικός τελεστής. Αρχές μεγίστου (ασθενής, Λήμμα Hopf, ισχυρή). Συζήτηση γύρω από: a priori εκτιμήσεις, ελλειπτική ομαλότητα, εκτιμήσεις Schauder, ύπαρξη λύσεων. Ένεργειακές μέθοδοι, σχέση Ελλειπτικών εξισώσεων και προβληματων ελαχιστοποίησης.

  • Φυλλάδιο 3

    Η εξίσωση Θερμότητας: θεμελιώδης λύση, αρχή Duhamel, ιδιότητα μέσης τιμής, αρχή μεγίστου για φραγμένα χωρία και για πρόβλημα Cauchy. Γενικός παραβολικός τελεστής: Αρχές μεγίστου (ασθενής, ισχυρή), ανισότητα Harnack (απλώς διατύπωση). Ενεργειακές εκτιμήσεις.

  • Φυλλάδιο 4

    Κυματική εξίσωση σε 1,2 και 3 διαστάσεις, ομογενές και μη ομoγενές πρόβλημα. Ενεργειακές εκτιμήσεις.

  • Φυλλάδιο 5