ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Χειμερινό Εξάμηνο 2015
Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.
E-mail: frantzikinakis@gmail.com.
Ώρες διδασκαλίας: Πέμπτη 1-3 και Παρασκευή 3-5 στην Α208.
Κύριο Σύγγραμμα:
E. Stein, R. Shakarchi,
Fourier Analysis: An Introduction.
Βοηθητικό Σύγγραμμα: Σημειώσεις Μ. Κολουντζάκη
εδώ.
Γραφείο: Γ 307.
Ώρες γραφείου: Τρίτη 10:00-12:00.
Ύλη: Κεφάλαια 2-5 από το κύριο σύγγραμα. Συγκεκριμένα:
Συναρτήσεις στον κύκλο: Σύγκλιση τριγονωμετρικών σειρών, σειρές Fourier,
τάξη μεγέθους συντελεστών Fourier, θεώρημα μοναδικότητας,
καλοί πυρήνες, Cesaro αθροισιμότητα και θεώρημα σύγκλισης Fejer, κριτήριο Dini, αρχή τοπικότητας, ύπαρξη αποκλίνουσας
σειράς Fourier.
Χώροι Hilbert: Βασικές αρχές χώρων Hilbert, ορθοκανονικά σύνολα, θεώρημα Parseval, ανάπτυγμα Fourier
σε χώρους Hilbert, πληρότητα τριγωνομετρικού συστήματος, σύγκλιση σειράς Fourier κατά τετραγωνικό μέσο.
Εφαρμογές: Ισοπεριμετρικό πρόβλημα, θεώρημα ισακοτανομής Weyl, ισοκατανομή ακολουθιών στον κύκλο,
κριτήριο van der Corput.
Συναρτήσεις στην ευθεία: Mετασχηματισμός Fourier στην ευθεία,
καλοί πυρήνες, θεώρημα σύγκλισης Fejer, τύπος Plancherel, τύπος άθροισης Poisson, εφαρμογές σε μερικές
διαφορικές εξισώσεις.
Βαθμολογία: Πρόοδος 35% (στα μέσα Νοεμβρίου),
Τελικό διαγώνισμα 65%.
Ανακοινώσεις
30/10: Την Δευτέρα 9 Νοεμβρίου θα γίνει μάθημα ασκήσεων 1-3 στην Ε204.
31/10: Η πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Παρασκευή 13 Νοεμβρίου
ώρα 3-5 στην A208.
Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει τις ενότητες
που θα έχουμε καλύψει μέχρι εκείνη τη στιγμή.
Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.
13/11: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ. Oι βαθμοί της προόδου είναι εδώ.
19/11: Την επόμενη εβδομάδα τα μαθήματα (26/11 και 27/11) δεν θα γίνουν λόγω απουσίας του διδάσκοντα (θα αναπληρωθούν αργότερα).
3/12: Το τελικό διαγώνισμα θα πραγματοποιηθεί την Παρασκευή 29 Ιανουαρίου
ώρα 9:00-12:00.
Όλα τα θέματα θα είναι ανάπτυξης.
Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες
που καλύψαμε εκτός από τις εφαρμογές σε διαφορικές εξισώσεις.
Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.
25/1: Την Τετάρτη 27 Ιανουαρίου θα γίνει μάθημα ασκήσεων 3-5 στην Ε203.
29/1: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ. Oι βαθμοί του τελικού διαγωνίσματος και
οι τελικοί σας βαθμοί είναι εδώ.
Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις
1η Εβδομάδα (25, 26 Σεπτεμβρίου): Επανάληψη σε βασικές έννοιες της ανάλυσης: Σειρές αριθμών, ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων, ολοκλήρωμα Riemman, κριτήριο Abel, σύγκλιση και ιδιότητες τριγωνομετρικών σειρών. Προτεινόμενες ασκήσεις:
εδώ, εδώ, και εδώ.
2η Εβδομάδα (1, 2 Οκτωβρίου): Τριγωνομετρικές και εκθετικές σειρές, συντελεστές Fourier, σειρές
Fourier, παραδείγματα σειρών Fourier. Σελίδες 29-37
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 58-61: 1, 2, 8, 9, 11 σελίδα 66: 2(α).
3η Εβδομάδα (8, 9 Οκτωβρίου): Ο πυρήνας του Dirichlet και ένα σχετικό παράδειγμα καλού πυρήνα, θεώρημα μοναδικότητας, συναρτήσεις με απολύτως συγκλίνουσα σειρά Fourier, ομαλότητα συνάρτησης και τάξη μεγέθους συντελεστών Fourier. Σελίδες 37-44
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 58-63: 4, 5, 6, 10, 11, 15, σελίδα 65: 1(α).
4η Εβδομάδα (15, 16 Οκτωβρίου): Συνέλιξη συναρτήσεων, βασικές ιδιότητες,
καλοί πυρήνες και θεώρημα σύγκλισης, Cesaro αθροισιμότητα, θεώρημα σύγκλισης Fejer και εφαρμογές. Σελίδες 44-52
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδα 62: 4, 14(a), σελίδες 91-94: 12, 13, 14, 17.
5η Εβδομάδα (22, 23 Οκτωβρίου):
Κατά σημείο σύγκλιση σειράς Fourier στα σημεία παραγωγισιμότητας, αρχή τοπικότητας,
αρχή ομοιόμορφου
φράγματος και ύπαρξη αποκλίνουσας σειράς Fourier.
Σελίδες 52-54 και 81-87
από το κύριο σύγγραμμα.
6η Εβδομάδα (29, 30 Οκτωβρίου): Χώροι με εσωτερικό γινόμενο,
Πυθαγόρειο θεώρημα, τριγωνική ανισότητα και ανισότητα Cauchy-Schwarz,
ορθοκανονικά σύνολα, ανισότητα Bessel, θεώρημα
βέλτιστης προσέγγισης, πλήρη ορθοκανονικά σύνολα, θεώρημα σύγκλισης και ταυτότητα Parseval
Σελίδες 69-78
από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 88-91: 3, 4 (a), (b), 7, 8, 9, 11, 14, σελίδα 95: 1.
7η Εβδομάδα (5, 6 Νοεμβρίου): Απόδειξη πληρότητας για το τριγωνομετρικό ορθοκανονικό σύστημα,
θεώρημα σύγκλισης σειράς Fourier κατά τετραγωνικό μέσο και ταυτότητα Parseval, εφαρμογές, λύση ασκήσεων.
Σελίδες 78-81
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 91-93: 15 (a), (b), 17, 19, σελίδα 95: 2.
8η Εβδομάδα (9, 12, 13 Νοεμβρίου): Λύση ασκήσεων, πρόoδος,
Ισοπεριμετρικό πρόβλημα, εισαγωγή στην έννοια της ισοκατανομής ακολουθιών.
Σελίδες 100-107
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 121-123: 1, 5, 9.
9η Εβδομάδα (19, 20 Νοεμβρίου): Κριτήριο ισοκατανομής του Weyl,
λήμμα van der Corput, παραδείγματα ισοκατανεμημένων ακολουθιών (γραμμικές, τετράγωνα,
τετραγωνικές ρίζες, άλλες δυνάμεις).
Σελίδες 107-113
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 122-124: 6, 8, 10, σελίδα 126: 3.
10η Εβδομάδα (26, 27 Νοεμβρίου): Δεν θα γίνουν μαθήματα λόγο απουσίας του διδάσκοντα.
11η Εβδομάδα (5, 7 Δεκεμβρίου):
Ιδιότητες ολοκληρωμάτων στην ευθεία, μετασχηματισμός Fourier στην ευθεία, παραδείγματα,
βασικές ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier.
Σελίδες 129-139
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 161-162: 1, 2, 4.
12η Εβδομάδα (12, 13 Δεκεμβρίου):
Ιδιότητες συνέλιξης συναρτήσεων στην ευθεία, καλοί πυρήνες και βασικό θεώρημα σύγκλισης,
θεώρημα σύγκλισης Fejer, θεώρημα μοναδικότητας, θεώρημα αντριστροφής,
λύση ασκήσεων από τα κεφάλαια 4 και 5.
Σελίδες 139-144
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 162-167: 3, 8, 21.
13η Εβδομάδα (19, 20 Δεκεμβρίου, 25 Ιανουαρίου):
Τύπος Plancherel, τύπος άθροισης Poisson και εφαρμογές,
εξίσωση διάδοσης της θερμότητας (στον κύκλο και την ευθεία),
εξίσωση θερμότητας σταθερής κατάστασης (στον δίσκο και το πάνω ημιεπίπεδο), λύση ασκήσεων.
Σελίδες 153-155 και συνοπτικά (δεν θα εξεταστούν) σελίδες 55-58, 118-120, 145-147, 149-151, 156-157
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 162-167: 14, 15, 16, 19.