ΕΡΓΟΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Χειμερινό Εξάμηνο 2013

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 11:00-1:00 και Παρασκευή 3:00-5:00 στην Β208.

Βασικό Συγγράμμα:
(1) Μ.Einsiedler-T.Ward, Ergodic Theory (with a view towards Number Theory). Graduate Texts in Mathematics v. 259.

Βοηθητικά Συγγράμματα:
(2) P.Walters, An introduction to Ergodic Theory. Graduate Texts in Mathematics v. 79.
(3) K.Petersen, Ergodic Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics.

Γραφείο: Γ307.

Ύλη: Παραδείγματα μετρήσιμων δυναμικών συστημάτων, το θεώρημα επαναφοράς του Poincare, το εργοδικό θεώρημα Von Neumann και Birkhoff, το θεώρημα Von Neumann για τετράγωνα, εφαρμογή σε θεωρία Ramsey (θεώρημα Furstenberg-Sarkozy), εφαρμογές (ισοκατανομή ακολουθιών, κανονικοί αριθμοί, συνεχή κλάσματα, ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών για στάσιμες στοχαστικές ανελίξεις), παραδείγματα weak mixing συστημάτων και ισοδύναμοι ορισμοί, strong mixing, ισομορφία, factors, Kronecker factor, θεώρημα διακριτού φάσματος Halmos-Von Neumann, αμετάβλητα μέτρα σε συμπαγείς μετρικούς χώρους, μοναδικά εργοδικά συστήματα, ισοκατανομή άρρητων πολυωνύμων, εργοδική ανάλυση αμετάβλητων μέτρων, πολλαπλό εργοδικό θεώρημα Furstenberg, εφαρμογή σε θεωρία Ramsey (θεώρημα Roth), εντροπία διαμέρισης και δυναμικού συστήματος, υπολογισμός σε απλές περιπτώσεις, μη ισομορφία 2-shift και 3-shift, το θεώρημα Shannon-McMillan-Breiman (κομμάτια από από τα Kεφάλαια 2-7 του βιβλίου των Einsiedler-Ward και τα Kεφάλαια 3-4 του βιβλίου του Walters).

Βαθμολογία: Ασκήσεις: 50%, Τελικό διαγώνισμα: 50%.

Ανακοινώσεις

02/10: Θα ξεκινήσουμε την επόμενη Τρίτη 8 Οκτωβρίου 11:00-13:00 στην αίθουσα Β208.

31/01: Ασκήσεις την Τρίτη 11 Φεβρουαρίου 12:15-15:00 στην αίθουσα Β208.

31/01: Τελικό διαγώνισμα την Πέμπτη 13 Φεβρουαρίου 12:15-17:00 στην αίθουσα Β208.

14/02: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (8, 11 Οκτωβρίου): Γενική επισκόπηση μαθήματος, κανονικοί χώροι μέτρου, συστήματα που διατηρούν το μέτρο (δυναμικά συστήματα), ορισμός και ισοδύναμοι χαρακτηρισμοί (μέρος από τις παραγράφους 1.1, 1.3, 2.1, Appendix A.1 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward).

2η Εβδομάδα (15, 18 Οκτωβρίου): Παραδείγματα δυναμικών συστημάτων, στροφές και ομομορφισμοί στον κύκλο στον τόρο και γενικότερα σε συμπαγείς αβελιανές ομάδες, αφινικοί μετασχηματισμοί, skew products, ο μετασχηματισμός Gauss, συνεχείς μετασχηματισμοί σε συμπαγείς μετρικούς χώρους, stationary μέτρα στον χώρο ακολουθιών, Bernoulli shifts (μέρος από τις παραγράφους 2.1, Appendix A.1, C.1, C.2, C.3 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward).

3η Εβδομάδα (22, 25 Οκτωβρίου): Σχέση εργοδικής θεωρίας με πιθανότητες (αντιστοιχία Kolmogorov) και συνδυαστική (αντιστοιχία Furstenberg), θεώρημα επαναφοράς Poincare, σύνολα και ακολουθίες επαναφοράς, παραδείγματα και αναγκαίες συνθήκες, (μέρος από τις παραγράφους 2.2, 7.3 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward).

4η Εβδομάδα (29 Οκτωβρίου, 1 Nοεμβρίου): Εργοδικά συστήματα, ισοδύναμοι ορισμοί, Κριτήρια εργοδικότητας, παραδείγματα εργοδικών μετασχηματισμών, στροφές σε συμπαγείς αβελιανές ομάδες, επιμορφισμοί και αφινικοί μετασχηματισμοί στον πολυδιάστατο τόρο, skew products, ο μετασχηματισμός Gauss, Bernoulli shifts (μέρος από τις παραγράφους 2.3, 2.4, 3.2, από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 1.5 από το βιβλίο του Walters).

5η Εβδομάδα (8 Nοεμβρίου): Tελεστής Koopman, μέσο εργοδικό θεώρημα Von Neumann, αναγωγή σε θεώρημα σύγκλισης για μοναδιαίους τελεστές σε χώρους Hilbert, απόδειξη με χρήση θεωρήματος διάσπασης, και δεύτερη απόδειξη με χρήση θεωρήματος αναπαράστασης Herglotz (μέρος από τις παραγράφους 2.4, 2.5 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward).

6η Εβδομάδα (12, 15 Nοεμβρίου): Θεώρημα επαναφοράς Khintchine, λήμμα van der Corput σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο, θεώρημα σύγκλισης Furstenberg για την ακολουθία τετραγώνων και θεώρημα επαναφοράς Furstenberg-Sarkozy για την ακολουθία τετραγώνων, απόδειξη με χρήση θεωρήματος διάσπασης, και δεύτερη απόδειξη με χρήση θεωρήματος αναπαράστασης Herglotz, (παράγραφος 7.4 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward)

7η Εβδομάδα (19, 22 Nοεμβρίου): Κατά σημείο εργοδικό θεώρημα Brikhoff, εφαρμογές: ισοκατανομή τροχιών σε συμπαγείς μετρικούς χώρους, κανονικοί αριθμοί, συνεχή κλάσματα, ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών για στάσιμες στοχαστικές ανελίξεις, (μέρος από τις παραγράφους 2.6.1, 2.6.2, 2.6.4, 2.6.5, 3.2 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 1.6 από το βιβλίο του Walters, για πιθανοθεωρητικές εφαρμογές κοιτάξτε στο κεφάλαιο VI του Shiryaev (Probability)), ιστορικά στοιχεία σχετικά με εργοδικά θεωρήματα που έχουμε αποδείξει εδώ. Η απόδειξη του Birkhoff εδώ.

8η Εβδομάδα (26, 28 Nοεμβρίου): Strong mixing και weak mixing, ισοδύναμοι ορισμοί και παραδείγματα (επιμορφισμοί συμπαγών αβελιανών ομάδων, Bernoulli shifts), σύγκλιση κατά πυκνότητα και σχέση με weak mixing, εργοδικότητα καρτεσιανού γινομένου (παράγραφοι 2.7, 2.8 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 1.7 από το βιβλίο του Walters).

9η Εβδομάδα (3, 6 Δεκεμβρίου): Χαρακτηρισμός συστημάτων weak mixing (θεώρημα Koopman-von Neumann), θεώρημα πολλαπλής επαναφοράς και σύγκλισης για weak mixing συστήματα, ισόμορφα δυναμικά συστήματα και factors, παραδείγματα (παράγραφοι 2.1, 2.8.1, 7.5.2, από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 1.7 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 από το βιβλίο του Walters).

10η Εβδομάδα (10, 13 Δεκεμβρίου): Αντιστοιχία μεταξύ factors, Τ-αναλλοίωτων σ-αλγεβρών συνόλων και κλειστών Τ-αναλλοίωτών αλγεβρών συναρτήσεων, Kronecker-factor παραδείγματα, το θεώρημα διακριτού φάσματος Halmos-Von Neumann, αμετάβλητα μέτρα για συνεχείς μετασχηματισμούς σε συμπαγείς μετρικούς χώρους, παραδείγματα και θεώρημα ύπαρξης, minimal ομοιομορφισμοί, αντιστοιχία Furstenberg (τοπολογικά δυναμικά συστήματα και συνδυαστική), μοναδικά εργοδικοί ομοιομορφισμοί, παραδείγματα (μέρος από τις παραγράφους 4.1, 4.3, 6.4, Β5 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 3.1, 3.2, 3.3, 5.1, 5.2, 6.1, 6.2, 6.5 από το βιβλίο του Walters).

11η Εβδομάδα (17 Δεκεμβρίου): Τυπικά σημεία, κριτήριο μοναδικής εργοδικότητας Furstenberg, εφαρμογή σε skew products, βασικές ιδιότητες μοναδικών εργοδικών συστημάτων και εφαρμογή σε ισοκατανομή άρρητων πολυωνύμων (μέρος από τις παραγράφους 4.3, 4.4.2, 4.4.3 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 6.5 από το βιβλίο του Walters).

12η Εβδομάδα (10, 14 Ιανουαρίου): Πολλαπλό (διπλό) εργοδικό θεώρημα επαναφοράς και σύγκλισης Furstenberg, εφαρμογή σε θεωρία Ramsey (θεώρημα Roth), εισαγωγή στην έννοια της εντροπίας, εντροπία διαμέρισης (μέρος από τις παραγράφους 7.2, 7.5.1, 7.6 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward, για εντροπία 4.1, 4.2 από το βιβλίο του Walters). Ιστορικά στοιχεία σχετικά με τo θεώρημα Szemeredi εδώ. Η εργοδική απόδειξη του θεωρήματος Szemeredi εδώ. Μια επισκόπηση κάποιων εφαρμογών εργοδικής θεωρίας σε συνδυαστική (μέχρι το 2006) εδώ και μία πιο εκτενής (μέχρι το 1996) εδώ.

13η Εβδομάδα (17, 21 Ιανουαρίου): Εντροπία δυναμικού συστήματος, θεώρημα Kolmogorov-Sinai, υπολογισμός εντροπίας σε απλές περιπτώσεις, μη ισομορφία 2-shift και 3-shift, μετασχηματισμοί με εντροπία μηδέν και μετασχηματισμοί K, το θεώρημα Shannon-McMillan-Breiman (μέρος από τις παραγράφους 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, από το βιβλίο του Walters). Ιστορικά στοιχεία σχετικά με την συνεισφορά του Kolmogorov στην εργοδική θεωρία εδώ. Ιστορικά στοιχεία σχετικά με προβλήματα ισομορφισμού δυναμικών συστημάτων και εντροπίας εδώ.

Φυλλάδια Ασκήσεων