ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Χειμερινό Εξάμηνο 2023

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα και Παρασκευή 11:15-13:00 στην Α203.

Κύριο Σύγγραμμα: N. Carothers, Real Analysis (θα χρειαστούμε μόνο το Part III).

Βοηθητικό Σύγγραμμα: Σημειώσεις Θ. Μήτση εδώ.

Γραφείο: Γ 307.

Ώρες γραφείου: Δευτέρα 13:00-14:00 και Παρασκευή 13:00-14:00.

Ύλη: Μέτρο Lebesgue στην ευθεία, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωμα Lebesgue, οριακά θεωρήματα, θεώρημα διαφόρισης Lebesgue, βασικές αρχές εργοδικής θεωρίας.

Προαπαιτούμενες γνώσεις: Είναι πρακτικά αδύνατο να τα πάτε καλά στο μάθημα εάν δεν έχετε πολύ καλή γνώση της ύλης των μαθημάτων Ανάλυση Ι και ΙΙ.

Βαθμολογία: Πρόοδος 50%, Τελικό διαγώνισμα 50%.

Ανακοινώσεις

19/9: Το πρώτο μάθημα θα γίνει τη Δευτέρα 25/9.

24/10: Η πρόοδος θα γίνει τη Δευτέρα 20 Νοεμβρίου 11:00-13:00 στην Α203. Ύλη: Ότι θα κάνουμε μέχρι τις 13 Νοεμβρίου.

14/11: H πρόοδος θα ξεκινήσει στις 11:00 ακριβώς. Μπορείτε να έχετε μία σελίδα με σημειώσεις σας (όχι όμως ασκήσεις).

21/11: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ. Oι βαθμοί της προόδου είναι εδώ. Μπορείτε να δείτε το γραπτό σας την Παρασκευή μετά το μάθημα.

20/11: Την Τετάρτη 29/11 θα κάνουμε ένα επιπλέον μάθημα στις 3:15-5:00 στην A203.

8/12: Την Τετάρτη 13/12 θα κάνουμε μάθημα στις 3:15-5:00 στην A203 (αντί του μαθήματος της Παρασκευής 15/12).

13/12: Tην Τρίτη 19/12 θα κάνουμε μάθημα στις 1:15-3:00 στην A212 (αντί του μαθήματος της Παρασκευής 22/12).

19/12: Το τελικό διαγώνισμα θα γίνει τη Δευτέρα 8 Ιανουαρίου στις 3:00-5:30 στην Α208. Θα εξεταστείτε σε όλη την ύλη. Μπορείτε να έχετε μία σελίδα με σημειώσεις σας (όχι όμως ασκήσεις).

9/1: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ. Oι τελικοί βαθμοί είναι εδώ. Μπορείτε να δείτε το γραπτό σας την Τετάρτη 10/1 στις 12-2.

Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις

1η Εβδομάδα (25, 29 Σεπτεμβρίου): Επανάληψη σε ιδιότητες αριθμήσιμων συνόλων και βασικές τοπολογικές έννοιες στην πραγματική ευθεία (ανοιχτά και κλειστά σύνολα, συμπάγεια), δομή ανοιχτών συνόλων (σελίδες 51-56, 63-68, 108-113, 263-265 από το βιβλίο του Carothers).

2η Εβδομάδα (2, 6 Οκτωβρίου): Πλάνο κατασκευής του ολοκληρώματος Lebesgue Ορισμός εξωτερικού μέτρου, βασικές ιδιότητες, εξωτερικό μέτρο διαστημάτων, υποπροσθετικότητα (σελίδες 263-272 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 271-272: 5, 9, 12, 16, 17, 18, 20, 21, σελίδα 273: 22, 25.

3η Εβδομάδα (9, 13 Οκτωβρίου): Εξωτερικό μέτρο ένωσης συνόλων με θετική απόσταση, το σύνολο Cantor, ορισμός και βασικές ιδιότητες μετρήσιμων συνόλων, τα μετρήσιμα είναι άλγεβρα που περιέχει τα διαστήματα και σύνολα μέτρου 0 (σελίδες 25-29 και 273, 277-279 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδα 273:28, σελίδες 281-283: 38, 41, 46.

4η Εβδομάδα (16, 20 Οκτωβρίου): Tα μετρήσιμα είναι σ-άλγεβρα, σ-προσθετικότητα του μέτρου Lebesgue, σύνολα Borel, δομή μετρήσιμων συνόλων (σελίδες 279-284 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 282-283: 40, 42, 44, 48, 53, σελίδα 284: 56, 58, 59, 60.

5η Εβδομάδα (23, 27 Οκτωβρίου): Επιπλέον ιδιότητες μέτρου Lebesgue και θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συνόλων, limsup συνόλων και θεώρημα Borel Cantelli, εφαρμογή σχετική με ρητές προσεγγίσεις πραγματικών, μη μετρήσιμα σύνολα, το σύνολο Vitali, μη προσθετικότητα εξωτερικού μέτρου και σχετικά αντιπαραδείγματα (σελίδες 284-286 και 289-291 από το βιβλίο του Carothers και άσκηση 72 και σελίδες 11,12 από τις σημειώσεις του Μήτση). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες σελίδα 286: 62, 64, 291: 73-74 και από τις σημειώσεις του Μήτση, σελίδα 10: 2, 3, 4, 8, 9, 11.

6η Εβδομάδα (30 Οκτωβρίου, 3 Νοεμβρίου): Λύση ασκήσεων στο εξωτερικό μέτρο και μέτρο Lebesgue. Μετρήσιμες συναρτήσεις, Borel συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες (σελίδες 296-298, 300-305, από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες σελίδες 297-298: 5, 6, 7, 8, σελίδα 299: 13, 15, 17.

7η Εβδομάδα (6, 10 Νοεμβρίου): Η Kατά σημείο όριο μετρήσιμων είναι μετρήσιμη. Αλγεβρικές ιδιότητες μετρήσιμων συναρτήσεων, σύνολο ασυνεχειών και μετρησιμότητα Riemann ολοκληρώσιμων συναρτήσεων συνάρτηση Cantor-Lebesgue και ιδιότητες της, εικόνα και αντίστροφη εικόνα συνόλου μέτρου 0 μέσω συνεχούς μπορεί να έχει θετικό μέτρο ή να είναι μη μετρήσιμο σύνολο (σελίδες 274-275,296-298, 300-305, από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 276-277: 31, 37, 299:18, σελίδα 302: 19, 21, σελίδα 305: 31, 33.

8η Εβδομάδα (13 Νοεμβρίου): Ασκήσεις σε μετρήσιμες συναρτήσεις.

9η Εβδομάδα (20, 24 Νοεμβρίου): Πρόοδος, θεώρημα Egorov, Θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συναρτήσεων από απλούστερες συναρτήσεις (απλές, κλιμακωτές, συνεχείς) (σελίδες 305-307 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδα 306: 36, 38, σελίδες 307-308:39,40.

10η Εβδομάδα (27, 29 Νοεμβρίου, 1 Δεκεμβρίου): Θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συναρτήσεων από απλούστερες συναρτήσεις (κλιμακωτές, συνεχείς), θεώρημα Lusin, κανονική αναπαράσταση απλών συναρτήσεων, oλοκλήρωμα Lebesgue για απλές συναρτήσεις και βασικές ιδιότητες, ολοκλήρωμα Lebesgue για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκληρώσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες, σχέση με ολοκλήρωμα Riemann, θεώρημα μονότονης σύγκλισης, γραμμικότητα ολοκληρώματος (σελίδες 307-325 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 309-310: 41, 43, 48, 50, σελίδες 312-321: 3, 4, 5, 6, 9-17, σελίδα 327: 24-25.

11η Εβδομάδα (4, 8 Δεκεμβρίου): Λήμμα Fatou, θεώρημα φραγμένης και κυριαρχημένης σύγκλισης, εναλλαγή σειράς και ολοκληρώματος, ομοιόμορφη και απόλυτη συνέχεια αόριστου ολοκληρώματος, θεωρήματα προσέγγισης και εφαρμογές, λήμμα Riemann-Lebesgue (σελίδες 315-330 328-335 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 327: 26, 29-32, 34, 35, 332-335: 38-43, 45, 46, 50, 56-59.

12η Εβδομάδα (11, 13 Δεκεμβρίου): Oι χώροι L^1, L^2, L^\infty, πληρότητα (οι αποδείξεις που έδωσα είναι διαφορετικές από αυτές του βιβλίου), θεωρήματα προσέγγισης και διαχωρισιμότητα L^1, L^2, μη διαχωρισιμότητα του L^\infty, οι χώροι L^p, εισαγωγή στο θεώρημα διαφόρισης Lebesgue, σημεία πυκνότητας (σελίδες 342-351 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers (σχετικές με προηγούμενη ύλη), σελίδες 342-351: 38, 39, 51, 52, 55, 56, 62, 63.

13η Εβδομάδα (18, 19 Δεκεμβρίου): Λήμμα κάλυψης Vitali, μεγιστική συνάρτηση, μεγιστική ανισότητα, απόδειξη θεωρήματος διαφόρισης Lebesgue (οι αποδείξεις που έκανα δεν είναι ίδιες με του βιβλίου), ασκήσεις σε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις.