M217-2022-23

MEM216-ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Χειμερινὸ ἑξάμηνο 2022-23

Διδακτέα ὕλη

Θὰ ἀσχοληθοῦμε μὲ τὰ παρακάτω:
1. Άλγεβρα καὶ τοπολογία τοῦ R^n.
2. Παραγώγιση
3. Ολοκλήρωση
4. Ἀλλαγὴ μεταβλητῶν
5.Πολλαπλότητες
6. Διαφορικὲς μορφὲς
7. Θεώρημα Stokes.

Βοηθητικἀ συγγράμματα:

1. Τὸ βιβλίο άναφορᾶς μας θὰ εἶναι τὸ Analysis on manifolds τοῦ J.R. Munkres.

2. M. Spivak, Λογισμὸς σὲ πολλαπλότητες, ΠΕΚ.
3. Σημειώσεις Κ. Ἀθανασόπουλου.
4. Σημειώσεις του J. Schurmann

Πληροφορίες μαθήματος στὴ σελίδα τοῦ ΤΜΕΜ

Ἐγγραφεῖτε στὸ Elearn: MEM216 Ανάλυση πολλών μεtαβλητών (Χειμερινό 2022)

Ὧρες διδασκαλίας:

Tρίτη-Πέμπτη 11:15-13:00, αἴθουσα Α208

Τρόπος ἐξέτασης-βαθμολογία

Μία ἐνδιάμεση ἐξέταση (Ε) τὸ Σάββατο 19 Νοεμβρίου (40%) * (δεῖτε τὴν ἀνακοίνωση 2)
Τελικὴ ἐξέταση (Τ) τοῦ Ἰανουαρίου (60% γιὰ ὅσους/ες κρατήσουν τὸν βαθμὸ τῆς προόδου, 100% γιὰ ὅσους/ες δὲν συμμετεῖχαν στὴν πρόοδο).
Ἐπιτυχόντες θὰ θεωροῦνται εἴτε:
α) ὅσοι/ες ἔχουν συμμετάσχει καὶ στὶς δύο ἐξετάσεις προόδου καὶ ἡ βαθμολογία τους ἱκανοποιεῖ τὶς
Ε>=3, Τ>=4,
0.4Ε+0.6Τ>=5.
β) ὅσοι/ες ἔλαβαν στὸν πλήρη τελικὸ βαθμὸ >=5.

ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

27/9: Eἰσαγωγὴ I: Ὁ χῶρος R^n: Δομή διανυσματικοῦ χώρου, Εὐκλείδεια νόρμα,
βαθμωτό γινόμενο, Εὐκλείδεια μετρική, ἀνισότητα Cauchy-Schwarz-Buniakowski,
ἀκολουθίες στὸν R^n.
29/9: Eἰσαγωγὴ IΙ: Ὑπακολουθίες, Θεώρημα Bolzano-Weierstrass, ἀνοικτὰ καὶ
κλειστὰ σύνολα, συνήθης τοπολογία τοῦ R^n, ὁριακὰ καὶ ἀπομονωμένα σημεῖα,
συμπάγεια.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 2.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
4/10: Τὸ Θεώρημα Heine-Borel. Συνεκτικότητα, κυρτὰ σύνολα. Άπεικονίσεις στὸν
R^n.
6/10: Ὅρια καὶ συνέχεια, συνέχεια στὰ συμπαγῆ.
8/10: (Ἀναπλήρωση τοῦ μαθήματος τῆς 22/12 καὶ τῆς 20/12.) Συνέχεια σὲ συνεκτικὰ
σύνολα, Θεώρημα Ἐνδιαμέσων Τιμῶν. Διαφόριση, ὁρισμός, πίνακας παραγώγου,
διαφόριση καὶ συνέχεια, παράγωγος καμπύλης, παραδείγματα καὶ ἀσκήσεις.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 3.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
11/10: Κανόνας τῆς ἁλυσίδας, ἰδιότητες τῆς παραγώγου, μερικὲς παράγωγοι,
Ἰακωβιανὸς πίνακας, C^1 συναρτήσεις.
13/10: Παραγώγιση ὑπὸ τὸ σύμβολο τῆς ὁλοκλήρωσης, κατὰ κατεύθυνση παράγωγοι,
Θεώρημα Μέσης Τιμῆς, εἰσαγωγικὰ στὸ Θεώρημα Ἀντιστροφῆς.
15/10: (Ἀναπλήρωση τοῦ μαθήματος τῆς 15/12.)
Tὸ Θεώρημα Ἀντιστροφῆς. Άπόδειξη-παραδείγματα.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 4.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
18/10: Θεώρημα τῶν Πεπλεγμένων Συναρτήσεων. Θεώρημα Καταβύθισης.
Διαφόριση ὑψηλότερης τάξης, Λῆμμα Schwarz.
20/10: Ὁλοκλήρωση: ὁλοκλήρωμα σὲ ὀρθογώνια, ὁρισμός, Θεώρημα Riemann-Darboux.
22/10: (Ἀναπλήρωση τοῦ μαθήματος τῆς 13/12 καἰ τῆς 8/12.) Ἰδιότητες τῶν ὁλοκληρωμάτων.
Ὁλοκλήρωση καὶ συνέχεια. Σύνολα μηδενικοῦ μέτρου καὶ μηδενικοῦ περιεχομένου.
Θεώρημα Riemann-Lebesgue. Ἀσκήσεις.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 5.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
25/10: Θεώρημα Fubini. Ἐφαρμογές.
27/10: Ὁλοκλήρωση σὲ φραγμένα χωρία. Παραδείγματα, ἀσκήσεις.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 6.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
01/11: Διαμερίσεις τῆς μονάδας. Γενικευμένο ὁλοκλήρωμα.
03/11: Τὸ Θεώρημα Ἀλλαγῆς Μεταβλητῶν.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 7.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
08/11: Πολυγραμμική Ἄλγεβρα Ι.
10/11: Πολυγραμμική Άλγεβρα ΙΙ.
12/11: (Ἀναπλήρωση τοῦ μαθήματος τῆς 6/12 καἰ τῆς 1/12.)
Διανυσματικὰ πεδία, διαφορικὲς μορφές, εξωτερικὸ διαφορικό, παραδείγματα, ἀσκήσεις.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 8.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
15/11: Ἀπεικονίσεις ἐμπρόσθιας ὤθησης (push-forward) καὶ ὀπισθέλκυσης (pull-back).
Παραδείγματα, ἀσκήσεις.
17/11: Ἀργία Πολυτεχνείου.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 9.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
22/11: Kλειστὲς καὶ ἀκριβεῖς μορφές, Λῆμμα Poincar\'e.
24/11: Ὁλοκλ'ήρωση σὲ ἁλυσίδες. Tὸ Θεώρημα τοῦ Stokes.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 10.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
29/11: Τὸ μάθημα δἐν θὰ γίνει.
01/12: Ἀναπληρώθηκε στὶς 12/11.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 11.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
06/12: Ἀναπληρώθηκε στὶς 12/11.
08/12: Ἀναπληρώθηκε στὶς 22/10.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 12.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
13/12: 15/12: Ἀναπληρώθηκε στὶς 15/10.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ἑβδομάδα 12.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
20/12: 22/12: Ἀναπληρώθηκε στὶς 08/10.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΙΣ

1. 18/08. Θὰ ἀπουσιάσω τὸ διάστημα 7/12-22/12. Τὰ μαθήματα θὰ ἀναπληρωθοῦν.

2. 28/09. Οἱ ἀναπληρώσεις:

1. 8/10

2. 15/10

3. 22/10

4. 12/11.

Ὅλες αὐτὲς οἱ ἡμερομηνίες εἶναι Σάββατα, ὧρες 11:00-14:00, αἴθουσα Α208. Ἡ ἡμερομηνία τῆς προόδου θὰ εἷναι ἡ 19/11, 15:00-17:00, μεγάλο ἀμφιθέατρο.

3. 29/09. Οἱ σημειώσεις τοῦ 1ου κεφαλαίου ἀναρτήθηκαν στὸ elearn. Oἱ ἐργαζόμενοι/ες φοιτητές/τριες ποὺ γιὰ ὁποιονδήποτε λόγο ἀδυνατοῦν νὰ παρακολουθήσουν κάποιες ἤ ὅλες τὶς διαλέξεις, ἄς ἐπικοινωνήσουν μαζί μου.
4. 06/10. Οἱ σημειώσεις τοῦ 2ου κεφαλαίου ἀναρτήθηκαν στὸ elearn. Έπίσης ἐνημερώθηκαν οἱ σημειώσεις του 1ου κεφαλαίου μὲ κάποιες διορθώσεις καὶ σχήματα.
5. 09/10. Οἱ σημειώσεις τοῦ 2ου κεφαλαίου ἐνημερώθηκαν στὸ elearn μὲ κάποιες διορθώσεις καὶ σχήματα.
6. 11/10. Τὸ πρῶτο μέρος τῶν σημειώσεων τοῦ 3ου κεφαλαίου ἀναρτήθηκε στὸ elearn.
7. 19/10. Στὸ elearn ἀναρτήθηκαν συγκεντρωτικά οἱ σημειώσεις τῶν τριῶν πρώτων κεφαλαίων ποὺ ἀποτελοῦν καὶ τὴν ὕλη τῆς προόδου, καθὼς καὶ τὸ πρῶτο μέρος τῶν σημειωσεων τοῦ 4ου Κεφαλαίου.
8. 23/10. Οἱ πλήρεις σημειώσεις τοῦ 4ου κεφαλαίου ἀναρτήθηκαν στὸ elearn.
9. 27/10. Οἱ πλήρεις σημειώσεις τοῦ 5ου κεφαλαίου ἀναρτήθηκαν στὸ elearn.
10. 14/11. Τἠν Τετάρτη 16/11 θὰ διεξαχθεῖ ἔκτακτο μάθημα ἀσκήσεων στὴν Α208, 18:00-20:00.
11. 20/11. Στὸ elearn δημοσιεύθηκαν σήμερα τὰ θέματα τῆς προόδου καὶ ἡ βαθμολογία.
12. 20/11. Στὸ elearn θὰ ἀποσταλεῖ σύυνδεσμος zoom γιὰ μάθημα ἀποριῶν στὶς 15/12,ὥρα 11:00 π.μ.