Γιά την μικρή εργασία μπορείτε να επιλέξετε είτε (α) ένα από τα παρακάτω θέματα είτε (β) μία παραλλαγή ενός από τα παρακάτω θέματα είτε (γ) ένα άλλο σχετικό θέμα της επιλογής σας.

Η αξιολόγηση της εργασίας θα βασιστεί σε δύο κριτήρια: (α) την πληρότητά της και (β) την κατανόησή της από τον φοιτητή.

Αναρμονικός ταλαντωτής

Έστω ένα σώμα που βρίσκεται σε δυναμικό V(x) = 1/4 k x4.
  • Βρείτε με προσεγγιστική μέθοδο την περίοδο ταλάντωσης.
  • Βρείτε αριθμητικά την περίοδο ταλάντωσης.
  • Συγκρίνετε με την περίοδο ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή.
Βιβλιογραφία:
Σημειώσεις μαθήματος, Fowles, Jordan&Smith.
Δικαιολογεί συνεργασία δύο φοιτητών.

Αναρμονικός ταλαντωτής

Έστω ο αναρμονικός ταλαντωτής
d2x/dt2 = -x -a x3
  • Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων.
  • Μελετήστε τις περιπτώσεις a=0, a>0, a<0.
  • Σχεδιάστε στον υπολογιστή το διάγραμμα φάσεων για μία περίπτωση, π.χ. a=0.01 ή a=-0.01.

Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση

  • Βρείτε λύση γιά κάθε τιμή της σταθερας απόσβεσης.
  • Βρείτε την συμπεριφορά της ενέργειας.
  • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων.
Δεν θα γίνουν δεκτές άλλες εργασίες με αυτό το θέμα εκτός από τους φοιτητές οι οποίοι την έχουν ήδη δηλώσει.

Δύο σώματα εξαρτώνται από διαδοχικά ελατήρια

Κοιτάξτε την αντίστοιχη άσκηση του φυλλαδίου Ι.
  • Γράψτε την λύση χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
  • Γράψτε την λύση χρησιμοποιώντας εκθετικές μιγαδικές συναρτήσεις.
  • Δώστε την λύση του ερωτήματος (β) με τριγωνομετρικές και με εκθετικές μιγαδικές συναρτήσεις.

Σώμα σε δυναμικό με διπλό ελάχιστο

Υποθέστε δυναμικό V(x) = 1/4 a x4 - 1/2 b x2.
  • Βρείτε περιοδικές λύσεις (αριθμητικά).
  • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων.

Κίνηση δύο δινών

  • Κατασκευάστε κώδικα ο οποίος να δίνει την κίνηση δύο δινών.
  • Δώστε την αναλυτική λύση γιά την τροχιά δύο δινών.
  • Σχεδιάστε τις τροχιές των δινών (γιά ορισμένες παραμέτρους και αρχικές συνθήκες)

Φορτίο σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο

  • Κατασκευάστε κώδικα ο οποίος να δίνει την κίνηση του σωματίου παρουσία απόσβεσης.
  • Σχεδιάστε την τροχιά του φορτίου (γιά ορισμένες παραμέτρους και αρχικές συνθήκες)

Ζεύγος φορτίων σε μαγνητικό πεδίο

  • Περιγράψτε την θεωρία γιά δύο αλληλεπιδρώντα φορτία q1, q2 σε ομογενές μαγνητικό πεδίο B.
  • Επιλέξτε συγκεκριμένες ειδικές περιπτώσεις γιά τα φορτία q1, q2 και γράψτε αναλυτικά τις εξισώσεις.
  • Σχεδιάστε την τροχιά του φορτίου (γιά ορισμένες παραμέτρους και αρχικές συνθήκες)
Δικαιολογεί συνεργασία δύο φοιτητών.

Τρείς δίνες

  • Γράψτε τις (έξι) εξισώσεις κίνησης γιά τρείς αλληλεπιδρώσες δίνες.
  • Βρείτε τις διατηρήσιμες ποσότητες που αντιστοιχούν στην ενέργεια και στον οδηγό της κίνησης.

Αλυσίδα 5 μαζών

Θεωρήστε αλυσίδα n σωματίων (n=5) που συνδέονται με ελατήρια. Τα δύο σώματα στις άκρες τις αλυσίδας είναι προσαρμοσμένα με ελατήρια σε σταθερά σημεία. Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης και τις λύσεις τους. Ολοκληρώστε τις εξισώσεις κίνησης με κάποια αρχική συνθήκη, π.χ., x1(t=0) = 1, xi(t=0)=0 (i=2,...,n), dxi/dt(t=0)=0 (i=1,...,n).

Αλυσίδα n μαζών

Έστω μια αλυσίδα n σωματίων ίδιας μάζας m τα οποία είναι συνδεδεμένα με ελατήρια σταθεράς G. Η πρώτη και η τελευταία μάζα είναι προσδεδεμένες σε σταθερά σημεία. Βρείτε τις συχνότητες ταλάντωσης του συστήματος.

Πληθυσμιακό μοντέλο I

Έστω το ακόλουθο μοντέλο το οποίο περιγράφει τους πληθυσμούς x,y δύο ειδών τα οποία ανταγωνίζονται για το ίδιο είδος τροφής:
dx/dt = x (1-x-a y)
dy/dt = r y (1-y-b x)
όπου a,b,r είναι σταθερές.
  • Εξηγήστε τι περιγράφουν οι όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις.
  • Βρείτε τα σημεία ισορροπίας. Μελετήστε την ευστάθεια.
  • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων γιά δύο σετ τιμών των a,b,r.

Πληθυσμιακό μοντέλο ΙΙ

Έστω το ακόλουθο μοντέλο το οποίο περιγράφει τους πληθυσμούς x,y δύο ειδών τα οποία ανταγωνίζονται για το ίδιο είδος τροφής:
dx/dt = x (1-x-a y)
dy/dt = r y (1-y+b x)
όπου a,b,r είναι σταθερές.
  • Εξηγήστε τι περιγράφουν οι όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις.
  • Βρείτε τα σημεία ισορροπίας. Μελετήστε την ευστάθεια.
  • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων γιά δύο σετ τιμών των a,b,r.
Δείτε την άσκηση 2.13 των Jordan & Smith.

Πληθυσμιακά μοντέλα (Jordan & Smith)

Από το βιβλίο των Jordan & Smith, μελετήστε όπως στην περίπτωση του πληθυσμικού μοντέλου ΙΙ:
  • Την άσκηση 2.12.
  • Την άσκηση 2.14.
Οι παραπάνω δύο ασκήσεις σχετίζονται μεταξύ τους και θα μπορούσαν να γίνουν με συνεργασία δύο φοιτητών (να ασχοληθεί με ένα ο καθένας).

Πληθυσμιακά μοντέλα (Hastings)

Επιλέξτε από το βιβλίο του A. Hastings. Π.χ., τα επόμενα τέσσερα θέματα:
  • Δώστε μία σύντομη μελέτη του λογιστικού μοντέλου (σελ. 83).
  • Σελ. 103, πρόβλημα 1: μία επέκταση του λογιστικού μοντέλου.
  • Σελ. 104, πρόβλημα 2: ένα μεταπληθυσμιακό μοντέλο.
  • Σελ. 103, πρόβλημα 3.
Τα παραπάνω τέσσερα θέματα σχετίζονται μεταξύ τους και θα μπορούσαν να γίνουν με συνεργασία τεσσάρων φοιτητών (να ασχοληθεί με ένα ο καθένας).

Ισοκλινικές καμπύλες

  • Περιγράψτε την μέθοδο σχεδίασης του διαγράμματος φάσεων με βάση τις ισοκλινικές καμπύλες.
  • Εφαρμόστε την μέθοδο γιά το μοντέλο Lotka-Volterra γιά ορισμένες περιπτώσεις.
Μπορείτε να κοιτάξετε το βιβλίο του A. Hastings (σελ. 135 και εξής).

Volterra's exclusion principle

Εξηγήστε τι είναι η Volterra's exclusion principle.
  • Γράψτε τις σχετικές εξισώσεις.
  • Σχεδιάστε το σχετικό διάγραμμα φάσεων.
Δείτε και την άσκηση 2.43 των Jordan & Smith.

Μοντέλο Nicholson-Bailey

  • Περιγράψτε το μοντέλο.
  • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων γιά ορισμένες περιπτώσεις.
Μπορείτε να κοιτάξετε το βιβλίο του A. Hastings (Section 9).

Διάδοση φημών

Μία φήμη διαδίδεται σε έναν πληθυσμό N+1 ατόμων. Θεωρούμε ότι την χρονική στιγμή t
x είναι ο αριθμός των ατόμων οι οποίοι δεν γνωρίζουν την φήμη,
y είναι ο αριθμός των ατόμων οι οποίοι διαδίδουν την φήμη,
z είναι ο αριθμός των ατόμων οι οποίοι έχουν ακούσει την φήμη αλλά δεν την διαδίδουν.
δικαιολογήστε γιατί οι εξισώσεις
dx/dt = -μ x y
dy/dt = μ [xy - y(y-1) - yz].
όπου μ είναι σταθερά.
  • Εξηγήστε τι περιγράφουν οι όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις.
  • Βρείτε τα σημεία ισορροπίας.
  • Βρείτε τις εξισώσεις γιά τις φασικές καμπύλες.
  • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων γιά μία τιμή του μ.
  • Δείξτε ότι αν γιά t=0 έχουμε y=1 και x=N, τότε ο αριθμός των ατόμων οι οποίοι δεν πρόκειται ποτέ να ακούσουν την φήμη είναι x1, όπου 2N+1-2x1+ N log(x1/N)=0.

Διάδοση επιδημίας

Θεωρήστε το μοντέλο διάδωσης επιδημίας
dx/dt = -b x y
dy/dt = b x y - c y
dz/dt = c y,
όπου a,b,c θετικές σταθερές, και x οι υγιείς οι οποίοι δεν έχουν αρρωστήσει, y οι άρρωστοι και z αυτοί που έχουν αναρρώσει και άρα έχουν ανοσία.
  • Εξηγήστε τι παριστάνουν οι όροι στις εξισώσεις.
  • Βρείτε τα σημεία ισορροπίας.
  • Βρείτε την εξίσωση των καμπυλών του διαγράμματος φάσεων στο επίπεδο (x,y)
  • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων στο επίπεδο (x,y).
  • Εφαρμόστε το μοντέλο γιά ένα συγκεκριμένο πρόβλημα (δηλ., δώστε τιμές στις παραμέτρους, και υπολογίστε κάποιο χρήσιμο αποτέλεσμα).

Εθνική οικονομία

Έστω
I: το εθνικό εισόδημα,
C: ο ρυθμός κατανάλωσης,
G: ο ρυθμός κρατικών εξόδων,
τότε ένα μοντέλο γιά την εθνική οικονομία δίνεται από
dI/dt = I - a C
dC/dt = b (I-C-G)
όπου a>1, b>=1 είναι σταθερές.
  • Εξηγήστε τι περιγράφουν οι όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις.
  • Δείξτε ότι αν G=G0 είναι σταθερά τότε υπάρχει κατάσταση ισορροπίας. Χαρακτηρίστε την κατάσταση αυτή.
  • Έστω G=G0 + k I, όπου k>0. Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και μελετήστε τα.
  • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων γιά μία περίπτωση.
  • Έστω G=G0 + k I2, όπου k>0. Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και μελετήστε τα.
Δικαιολογεί συνεργασία δύο φοιτητών.

Δυναμικά συστήματα

Σωμάτιο δέχεται τάση από ένα μακρύ ελατήριο της μορφής f(x) = - x e-x, όπου x η απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας.
  • Γράψτε την μορφή του δυναμικού συστήματος.
  • Βρείτε αναλυτικά τις φασικές καμπύλες. Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων.
  • Σχολιάστε τις λύσεις γιά μικρό x και μεγάλο x.

Χαμιλτονιανά συστήματα

Ασχοληθείτε με την exercise 2.8 των Jordan & Smith (σελ. 79).

Οριακός κύκλος

Δίνεται η εξίσωση d2x/dt2 + (x2+(dx/dt)2-1) dx/dt + x = 0.
  • Σχεδιάστε (στον υπολογιστή) το διάγραμμα φάσεων.
  • Γράψτε την εξίσωση χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες.
  • Βρείτε τον οριακό κύκλο.

Γραμμικά δυναμικά συστήματα

Γράψτε τέσσερα γραμμικά δυναμικά συστήματα τα οποία να καλύπτουν τις περιπτώσεις: σπείρας, κόμβου, σαγματικού σημείου, κέντρου.
  • Εξηγήστε τις ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα κάθε συστήματος.
  • Σχεδιάστε τα σχετικά διαγράμματα φάσεων.

Βιβλίο Α. Μπούντη

Επιλέξτε ασκήσεις από το βιβλίο του Α. Μπούντη.
  • Π.χ., άσκηση ΙΙ. 11, ερωτήματα (α), (β).

Brusselator

Ασχοληθείτε με την άσκηση 2.46 των Jordan & Smith.

Βιβλιογραφία

  • G.R. Fowles, Analytical mechanics (CBS College Publishing, 1986).
  • Herbert Goldstein, Classical Mechanics (Addison Wesley, 1980).
    Herbert Goldstein, Charles Poole, and John Safko, Classical Mechanics (Addison Wesley, San Francisco, 2002).
  • L. Brillouin, Wave Propagation in Periodic Structures (Academic Press, 1960).
  • A.P. French, Vibrations and Waves (Norton & Co, 1971).
  • Lawrence Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Third edition (Springer, New York, 2001).
  • D.W. Jordan and P. Smith, Nonlinear ordinary differential equations (Oxford University Press, 1987).
  • E.A. Bender, "An introduction to mathematical modeling" (Dover Publications, 1978).
  • A. Hastings "Population biology".