Η ιστοσελίδα αυτή είναι ακόμα υπό κατασκευή. Θα επεκταθεί και ορισμένα θέματα θα διορθωθούν. Γιά την τελική επιλογή του θέματός σας (πριν αρχίσετε να δουλεύετε) συμβουλευθείτε τον διδάσκοντα.

Γιά την εργασία σας μπορείτε να επιλέξετε είτε

  • (α) ένα από τα παρακάτω θέματα είτε
  • (β) μία παραλλαγή ενός από τα παρακάτω θέματα είτε
  • (γ) κάποιες από τις ασκήσεις που δίνονται στις σημειώσεις είτε
  • (δ) ένα άλλο σχετικό θέμα της επιλογής σας.

    Η αξιολόγηση της εργασίας θα βασιστεί στα εξής κριτήρια:
  • (α) την πληρότητά της
  • (β) την χρήση των γνώσεων από το μάθημα και το εργαστήριο
  • (γ) την κατανόησή της.

    Pendulum

    • Model the motion of a pendulum.
    • Show that, if the amplitude of oscillation is a, then the period of oscillation is equal to 4K(b), where b = |sin(a/2)| and K(b) is the complete elliptic integral of the first kind.
    • Use a power series representation of K(b) and find that the period of oscillation is
      T = 2 π (1+ a2/16 + (11/3072)a4) + O(a6)
    • Solve for the period of oscillation numerically and compare with the above approximate results.

    Κίνηση δύο δινών

    • Δώστε την αναλυτική λύση γιά την τροχιά δύο δινών (γιά κάθε Q1, Q2).
    • Σχεδιάστε τις τροχιές των δινών (γιά ορισμένες παραμέτρους και αρχικές συνθήκες)
    • Κατασκευάστε κώδικα ο οποίος να δίνει την κίνηση δύο δινών.

    Τρείς δίνες

    • Γράψτε την Lagrangian γιά τρείς αλληλεπιδρώσες δίνες.
    • Γράψτε τις (έξι) εξισώσεις κίνησης.
    • Βρείτε τις διατηρήσιμες ποσότητες που αντιστοιχούν στην ενέργεια και στον οδηγό της κίνησης.
    • Δώστε αριθμητική λύση στο πρόβλημα γιά συγκεκριμένες ενδιαφέρουσες αρχικές συνθήκες.
    • Δείξτε αριθμητικά ότι οι διατηρήσιμες ποσότητες πράγματι μένουν αμετάβλητες κατά την κίνηση.

    Τρείς μαγνητικές δίνες

    • Γράψτε την Lagrangian γιά τρείς αλληλεπιδρώσες μαγνητικές δίνες.
    • Γράψτε τις (έξι) εξισώσεις κίνησης.
    • Βρείτε τις διατηρήσιμες ποσότητες που αντιστοιχούν στην ενέργεια και στον οδηγό της κίνησης.
    • Δώστε αριθμητική λύση στο πρόβλημα γιά συγκεκριμένες ενδιαφέρουσες αρχικές συνθήκες.
    • Δείξτε αριθμητικά ότι οι διατηρήσιμες ποσότητες πράγματι μένουν αμετάβλητες κατά την κίνηση.

    Δύο μαγνητικές δίνες

    • Γράψτε την Lagrangian γιά δύο αλληλεπιδρώσες μαγνητικές δίνες.
    • Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης γιά οποιαδήποτε Q1, Q2, κ1, κ2.
    • Βρείτε τις διατηρήσιμες ποσότητες που αντιστοιχούν στην ενέργεια και στον οδηγό της κίνησης.
    • Εάν Q1=1=Q2, πόσες δυνατότητες υπάρχουν;
    • Δώστε αριθμητική λύση στο πρόβλημα γιά συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες.
    • Δείξτε αριθμητικά ότι οι διατηρήσιμες ποσότητες πράγματι μένουν αμετάβλητες κατά την κίνηση.

    Ν δίνες

    • Γράψτε την Lagrangian γιά N αλληλεπιδρώσες δίνες.
    • Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης.
    • Βρείτε τις διατηρήσιμες ποσότητες που αντιστοιχούν στην ενέργεια και στον οδηγό της κίνησης.
    • Δώστε αριθμητική λύση στο πρόβλημα γιά συγκεκριμένες ενδιαφέρουσες αρχικές συνθήκες.

    Φορτίο σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο

    • Περιγράψτε την θεωρία (εξίσωση κίνησης) γιά φορτίο q σε ηλεκτρικό πεδίο H και μαγνητικό πεδίο B.
    • Κατασκευάστε κώδικα ο οποίος να δίνει την κίνηση του σωματίου (σε ομογενή πεδία H και B).
    • Προσθέσθε έναν όρο στην θεωρία (και στον κώδικα) που να περιγράφει απόσβεση ενέργειας.
    • Σχεδιάστε την τροχιά του φορτίου (γιά ορισμένες παραμέτρους και αρχικές συνθήκες)

    Ζεύγος φορτίων σε μαγνητικό πεδίο

    • Περιγράψτε την θεωρία γιά δύο αλληλεπιδρώντα φορτία q1, q2 σε ομογενές μαγνητικό πεδίο B.
    • Επιλέξτε συγκεκριμένες ειδικές περιπτώσεις γιά τα φορτία q1, q2 και γράψτε αναλυτικά τις εξισώσεις.
    • Σχεδιάστε την τροχιά του φορτίου (γιά ορισμένες παραμέτρους και αρχικές συνθήκες)

    Πληθυσμιακό μοντέλο I

    Έστω το ακόλουθο μοντέλο το οποίο περιγράφει τους πληθυσμούς x,y δύο ειδών τα οποία ανταγωνίζονται για το ίδιο είδος τροφής:
    dx/dt = x (1-x-a y)
    dy/dt = r y (1-y-b x)
    όπου a,b,r είναι σταθερές.
    • Εξηγήστε τι περιγράφουν οι όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις.
    • Βρείτε τα σημεία ισορροπίας. Μελετήστε την ευστάθεια.
    • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων γιά δύο σετ τιμών των a,b,r.

    Πληθυσμιακό μοντέλο ΙΙ

    Έστω το ακόλουθο μοντέλο το οποίο περιγράφει τους πληθυσμούς x,y δύο ειδών τα οποία ανταγωνίζονται για το ίδιο είδος τροφής:
    dx/dt = x (1-x-a y)
    dy/dt = r y (1-y+b x)
    όπου a,b,r είναι σταθερές.
    • Εξηγήστε τι περιγράφουν οι όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις.
    • Βρείτε τα σημεία ισορροπίας. Μελετήστε την ευστάθεια.
    • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων γιά δύο σετ τιμών των a,b,r.
    Δείτε την άσκηση 2.13 των Jordan & Smith.

    Πληθυσμιακά μοντέλα ΙΙΙ

    Από το βιβλίο των Jordan & Smith, μελετήστε όπως στην περίπτωση του πληθυσμικού μοντέλου ΙΙ:
    • Την άσκηση 2.12.
    • Την άσκηση 2.14.
    Οι παραπάνω δύο ασκήσεις σχετίζονται μεταξύ τους και θα μπορούσαν να γίνουν με συνεργασία δύο φοιτητών (να ασχοληθεί με ένα ο καθένας).

    Ισοκλινικές καμπύλες

    • Περιγράψτε την μέθοδο σχεδίασης του διαγράμματος φάσεων με βάση τις ισοκλινικές καμπύλες.
    • Εφαρμόστε την μέθοδο γιά το μοντέλο Lotka-Volterra γιά ορισμένες περιπτώσεις.
    Μπορείτε να κοιτάξετε το βιβλίο του A. Hastings (σελ. 135 και εξής).

    Volterra's exclusion principle

    Εξηγήστε τι είναι η Volterra's exclusion principle.
    • Γράψτε τις σχετικές εξισώσεις.
    • Σχεδιάστε το σχετικό διάγραμμα φάσεων.
    Δείτε και την άσκηση 2.43 των Jordan & Smith.

    Διάδοση φημών

    Μία φήμη διαδίδεται σε έναν πληθυσμό N+1 ατόμων. Θεωρούμε ότι την χρονική στιγμή t
    x είναι ο αριθμός των ατόμων οι οποίοι δεν γνωρίζουν την φήμη,
    y είναι ο αριθμός των ατόμων οι οποίοι διαδίδουν την φήμη,
    z είναι ο αριθμός των ατόμων οι οποίοι έχουν ακούσει την φήμη αλλά δεν την διαδίδουν.
    Δικαιολογήστε γιατί οι εξισώσεις
    dx/dt = -μ x y
    dy/dt = μ [xy - y(y-1) - yz].
    (όπου μ είναι σταθερά) αποτελούν ένα μοντέλο διάδοσης φημών.
    • Εξηγήστε τι περιγράφουν οι όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις.
    • Γράψτε την εξίσωση γιά το z.
    • Βρείτε τα σημεία ισορροπίας.
    • Βρείτε τις εξισώσεις γιά τις φασικές καμπύλες.
    • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων γιά μία τιμή του μ.
    • Δείξτε ότι αν γιά t=0 έχουμε y=1 και x=N, τότε ο αριθμός των ατόμων οι οποίοι δεν πρόκειται ποτέ να ακούσουν την φήμη είναι x1, όπου 2N+1-2x1+ N log(x1/N)=0.

    Διάδοση επιδημίας

    Θεωρήστε το μοντέλο διάδωσης επιδημίας
    dx/dt = -b x y
    dy/dt = b x y - c y
    dz/dt = c y,
    όπου a,b,c θετικές σταθερές, και x οι υγιείς οι οποίοι δεν έχουν αρρωστήσει, y οι άρρωστοι και z αυτοί που έχουν αναρρώσει και άρα έχουν ανοσία.
    • Εξηγήστε τι παριστάνουν οι όροι στις εξισώσεις.
    • Βρείτε τα σημεία ισορροπίας.
    • Βρείτε την εξίσωση των καμπυλών του διαγράμματος φάσεων στο επίπεδο (x,y)
    • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων στο επίπεδο (x,y).
    • Εφαρμόστε το μοντέλο γιά ένα συγκεκριμένο πρόβλημα (δηλ., δώστε τιμές στις παραμέτρους, και υπολογίστε κάποιο χρήσιμο αποτέλεσμα).

    Εθνική οικονομία

    Έστω
    I: το εθνικό εισόδημα,
    C: ο ρυθμός κατανάλωσης,
    G: ο ρυθμός κρατικών εξόδων,
    τότε ένα μοντέλο γιά την εθνική οικονομία δίνεται από
    dI/dt = I - a C
    dC/dt = b (I-C-G)
    όπου a>1, b>=1 είναι σταθερές.
    • Εξηγήστε τι περιγράφουν οι όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις.
    • Δείξτε ότι αν G=G0 είναι σταθερά τότε υπάρχει κατάσταση ισορροπίας. Χαρακτηρίστε την κατάσταση αυτή.
    • Έστω G=G0 + k I, όπου k>0. Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και μελετήστε τα.
    • Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων γιά μία περίπτωση.
    • Έστω G=G0 + k I2, όπου k>0. Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και μελετήστε τα.
    Δικαιολογεί συνεργασία δύο φοιτητών.

    Oregonator

    Μελετήστε το μοντέλο χημικής αντίδρασης με το όνομα Oregonator. (Δείτε μια εισαγωγή στο θέμα εδώ.)
    • Εξηγήστε τι πρόβλημα μοντελοποιείται
    • Γράψτε τις εξισώσεις
    • Δώστε τις εξισώσεις σε αδιάστατη μορφή
    • Βρείτε αριθμητικά λύσεις των εξισώσεων
    • Εξηγήστε τι σημαίνουν οι λύσεις γιά την χημική αντίδραση (δώστε παράδειγμα με συγκεκριμένα νούμερα)
    Μπορείτε να δείτε μία πλήρη εργασία γιά το Oregonator με χρήση GUI στο matlab εδώ.

    Χημική αντίδραση Belusov-Zhabotinsky

    Πρόκειται γιά ένα σύστημα σε δύο διαστάσεις. Δείτε επεξηγήσεις εδώ.

    Χαμιλτονιανά συστήματα

    Ασχοληθείτε με την exercise 2.8 των Jordan & Smith (σελ. 79) και με την σχετική θεωρία.

    Οριακός κύκλος

    Δίνεται η εξίσωση d2x/dt2 + (x2+(dx/dt)2-1) dx/dt + x = 0.
    • Σχεδιάστε (στον υπολογιστή) το διάγραμμα φάσεων.
    • Γράψτε την εξίσωση χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες.
    • Βρείτε τον οριακό κύκλο.
    • Βρείτε στην βιβλιογραφία μοντέλο που να παρουσιάζει οριακό κύκλο

    Βιβλίο Α. Μπούντη

    Επιλέξτε ασκήσεις από το βιβλίο του Α. Μπούντη.
    • Π.χ., άσκηση ΙΙ. 11, ερωτήματα (α), (β).

    Brusselator

    Ασχοληθείτε με την άσκηση 2.46 των Jordan & Smith. (Μοντέλο χημικής αντίδρασης.)

    Αναρμονικός ταλαντωτής

    Έστω ο αναρμονικός ταλαντωτής
    d2x/dt2 = -x -a x3
    Κάνετε ορισμένα από τα παρακάτω:
    • Βρείτε τα σημεία ισορροπίας.
    • Μελετήστε τις περιπτώσεις a=0, a>0, a<0.
    • Σχεδιάστε στον υπολογιστή το διάγραμμα φάσεων για μία περίπτωση, π.χ. a=0.01 ή a=-0.01.
    • Βρείτε περιοδικές λύσεις (αριθμητικά).
    • Βρείτε με προσεγγιστική μέθοδο την περίοδο ταλάντωσης.
    • Βρείτε αριθμητικά την περίοδο ταλάντωσης.
    • Συγκρίνετε με την περίοδο ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή.
    Βιβλιογραφία:
    Σημειώσεις μαθήματος, Jordan&Smith.

    Σώμα σε δυναμικό με διπλό ελάχιστο

    Υποθέστε δυναμικό V(x) = 1/4 a x4 - 1/2 b x2.
    Κάνετε ανάλογη μελέτη με αυτήν της προηγούμενης άσκησης (γιά τον αναρμονικό ταλαντωτή).

    Ταλαντωτής με απόσβεση

    Σε έαν από τα προηγούμενα προβλήματα (αναρμονικό ταλαντωτή, δυναμικό με διπλό ελάχιστο) προσθέσθε έναν όρο που να δίνει απώλεια ενέργειας (απόσβεση). Κάνετε ορισμένα από τα παρακάτω:
    • Βρείτε τα σημεία ισορροπίας.
    • Σχεδιάστε στον υπολογιστή το διάγραμμα φάσεων για μία τιμή των παραμέτρων.
    • Βρείτε λύσεις (αριθμητικά).
    • Βρείτε αριθμητικά την περίοδο ταλάντωσης.
    • Συγκρίνετε με την αντίστοιχη περίπτωση συστήματος χωρίς απόσβεση.