Στοχαστικές Ανελίξεις

Εαρινό Εξάμηνο 2018

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 11-1 και Πέμπτη 1-3 στην Α208.

Κύρια Συγγράμματα: 1. Mιχάλης Λουλάκης, Στοχαστικές Διαδικασίες, εδώ.
2. James Norris, Markov Chains, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Τo πρώτo κεφάλαιo εδώ.

Βοηθητικό Σύγγραμμα: Ουρανία Χρυσαφίνου, Εισαγωγή στις Στοχαστικές ανελίξεις. Τα πρώτα κεφάλαια εδώ.

Γραφείο: Γ 307.

Ώρες γραφείου: Πέμπτη 3:00-5:00.

Ύλη: Μαρκοβιανές αλυσίδες διακριτού χώρου και χρόνου και παραδείγματα, πίνακας μετάβασης, πιθανότητες μετάβασης ανώτερης τάξης, δομή χώρου καταστάσεων, ισχυρή μαρκοβιανή ιδιότητα, παροδικές και επαναληπτικές καταστάσεις, τυχαίοι περίπατοι, χρόνοι απορρόφησης/αφίξεως και στατιστικά αυτών, στάσιμες/αναλλοίωτες κατανομές και ιδιότητες, χρονική αντιστρεψιμότητα και ακριβής ισορροπία, σύγκλιση προς τη στάσιμη κατανομή, το εργοδικό θεώρημα, μαρκοβιανές ανελίξες συνεχούς χρόνου, ανελίξεις Poisson, κίνηση Brown.

Βαθμολογία: Πρόοδος 35%, Τελικό διαγώνισμα 65%.

Ανακοινώσεις

1/3: Η πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Πέμπτη 19 Απριλίου ώρα 13:10-15:00 στην A203. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει τις ενότητες που θα έχουμε καλύψει μέχρι εκείνη τη στιγμή. Eπιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα τύπου Α4 με διάφορες σημειώσεις σας (πχ τύπους και θεωρήματα, όχι όμως λυμένες ασκήσεις).

23/4: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ. Oι βαθμοί της προόδου είναι εδώ.

25/4: Το μάθημα της επόμενης Πέμπτης (3/5) αναβάλλεται, θα αναπληρωθεί αργότερα.

26/4: Την Παρασκευή 11/5 και 18/5 θα κάνουμε δύο επιπλέον δίωρα 13:00-15:00 στην Α208.

14/5: Το τελικό διαγώνισμα θα πραγματοποιηθεί την Tετάρτη 6 Ιουνίου ώρα 13:00-16:00. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες που καλύψαμε. Eπιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα τύπου Α4 με διάφορες σημειώσεις σας (πχ τύπους και θεωρήματα, όχι όμως λυμένες ασκήσεις).

15/5: Την Πέμπτη 31/5 θα κάνουμε ένα επιπλέον δίωρο ασκήσεων 16:00-18:00 στην Α208.

16/6: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ. Oι βαθμοί του τελικού διαγωνίσματος και οι τελικοί σας βαθμοί είναι εδώ. Mπορείτε να περάσετε να δείτε το γραπτό σας τη Δευτέρα 18/6 στις 11:00- 13:00.

26/8: Το διαγώνισμα της εξεταστικής του Σεπτεμβρίου θα πραγματοποιηθεί την Πέμπτη 13 Σεπτεμβρίου ώρα 13:00-16:00. Το διαγώνισμα θα είναι ανάπτυξης και η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες που έχουμε καλύψει. Ο βαθμός της προόδου δεν θα μετρήσει.

17/9: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ. Oι βαθμοί του τελικού διαγωνίσματος και οι τελικοί σας βαθμοί είναι εδώ. Mπορείτε να περάσετε να δείτε το γραπτό σας την Τρίτη 18/9 στις 10:00- 12:00.

Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις

1η Εβδομάδα (6, 8 Φεβρουαρίου): Παραδείγματα προβλημάτων που θα λύσουμε στο μάθημα χρησιμοποιώντας θεωρία Μαρκοβιανών αλυσίδων, επανάληψη σε βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων: σ-άλγεβρες, μέτρα πιθανότητας, βασικές ιδιότητες, παραδείγματα χώρων πιθανότητας, δεσμευμένη πιθανότητα και σχετικοί γρίφοι. Προσπαθήστε να αποδείξετε τις βασικές ιδιότητες μέτρων πιθανότητας που αναφέραμε στο μάθημα και να λύσετε τους γρίφους που αναφέραμε με χρήση του ορισμού της δεσμευμένης πιθανότητας.

2η Εβδομάδα (13, 15 Φεβρουαρίου): Ανεξάρτητα ενδεχόμενα, παραδείγματα, τυχαίες μεταβλητές, συνάρτηση κατανομής, βασικές ιδιότητες, ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να είναι μία συνάρτηση συνάρτηση κατανομής, από κοινού συνάρτηση κατανομής, ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, ύπαρξη ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με δεδομένες συναρτήσεις κατανομής, μέση τιμή, βασικές ιδιότητες, δεσμευμένη μέση τιμή. Προσπαθήστε να κάνετε τις ασκήσεις που ανέφερα στο μάθημα.

3η Εβδομάδα (20, 22 Φεβρουαρίου): Μαρκοβιανές αλυσίδες, πίνακας μετάβασης, διάνυσμα αρχικής κατάστασης, βασικές ιδιότητες, θεώρημα ύπαρξης, μαρκοβιανή ιδιότητα, παραδείγματα μαρκοβιανών αλυσίδων με πεπερασμένο και άπειρο χώρο καταστάσεων. Από το βιβλίο του Λουλάκη διαβάστε τις παραγράφους 1.3 και 1.4 και κάντε τις ασκήσεις 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12 από την παράγραφο 1.5. Από το βιβλίο της Χρυσαφίνου διαβάστε τις σελίδες 65-71.

4η Εβδομάδα (27 Φεβρουαρίου, 1 Μαρτίου): Πιθανότητες μετάβασης ανώτερης τάξης, εξισώσεις Chapman-Kolmogorov, παραδείγματα σε πεπερασμένο χώρο καταστάσεων στην περίπτωση που ο πίνακας μετάβασης είναι διαγωνιοποιήσιμος, παράδειγμα υπολογισμού πιθανοτήτων μετάβασης στον τυχαίο περίπατο στους ακεραίους. Από το βιβλίο του Λουλάκη διαβάστε την παράγραφο 2.2 και κάντε τις ασκήσεις 18, 19, 20 από την παράγραφο 2.6. Από το βιβλίο της Χρυσαφίνου διαβάστε τις σελίδες 71-84.

5η Εβδομάδα (6, 8 Μαρτίου): Δομή χώρου καταστάσεων, ανοιχτές και κλειστές κλάσεις επικοινωνίας, μη υποβιβάσιμες/ανάγωγες μαρκοβιανές αλυσίδες, παραδείγματα, χρόνοι διακοπής, παρελθόν χρόνου διακοπής, ισχυρή μαρκοβιανή ιδιότητα. Από το βιβλίο του Λουλάκη διαβάστε τις παραγράφους 2.3, 2.4 και κάντε τις ασκήσεις 21-28, από την παράγραφο 2.6 (μην προσπαθήσετε ακόμη τα υποερωτήματα που αφορούν επαναληπτικότητα). Από το βιβλίο της Χρυσαφίνου διαβάστε τις σελίδες 86-91.

6η Εβδομάδα (13, 15 Μαρτίου): Επαναληπτικές και παροδικές καταστάσεις, χρόνοι νιοστής επιστροφής, κριτήρια επαναληπτικότητας σχετικά με τον πρώτο χρόνο επιστροφής και με τις πιθανότητες μετάβασης ανώτερης τάξης, η επαναληπτικότητα/παροδικότητα είναι ιδιότητα κλάσης, οι ανοιχτές κλάσεις είναι παροδικές, οι κλειστές πεπερασμένες κλάσεις είναι επαναληπτικές. Από το βιβλίο του Λουλάκη διαβάστε την παράγραφο 2.5 (σελ 22-27) και κάντε τις ασκήσεις 22, 23, 29, 30 από την παράγραφο 2.6.

7η Εβδομάδα (20, 22 Μαρτίου): Επαναληπτικότητα τυχαίου περίπατου στη μία και δύο διαστάσεις, παροδικότητα στις τρεις, υπολογισμός πιθανοτήτων απορρόφησης/αφίξεως, παραδείγματα με πεπερασμένο χώρο καταστάσεων. Από το βιβλίο του Λουλάκη διαβάστε τις παραγράφους 2.5 (σελ 27-28) και 3.2 (σελ 33-36) και κάντε την άσκηση 32 από την παράγραφο 2.6 και το παράδειγμα 19 και τις ασκήσεις 40, 41 (α), (β), 42, 52 (α), 53 από την παράγραφο 3.4. Από το βιβλίο της Χρυσαφίνου διαβάστε τις σελίδες 103-107 (τυχαίοι περίπατοι).

8η Εβδομάδα (27, 29 Μαρτίου): Yπολογισμός πιθανοτήτων απορρόφησης/αφίξεως, παραδείγματα με άπειρο χώρο καταστάσεων (τυχαίοι περίπατοι, gambler's ruin, birth and death chains), μέσος χρόνος άφιξης, παραδείγματα με πεπερασμένο και άπειρο χώρο καταστάσεων (τυχαίοι περίπατοι, gambler's ruin). Από το βιβλίο του Λουλάκη διαβάστε τις παραγράφους 3.2 και 3.3 και κάντε τις ασκήσεις 41 (γ), 43, 44, 45, 46, 47, 48. 49, 50.

9η Εβδομάδα (17, 19 Απριλίου): Επαναληπτικές ασκήσεις στα Κεφάλαια 1-3. Πρόοδος.

10η Εβδομάδα (24, 26 Απριλίου): Αναλλοίωτες κατανομές, γνήσια επαναληπτικές καταστάσεις, σχέση γνήσιας επαναληπτικότητας και ύπαρξης αναλλοίωτης κατανομής, γνήσιας επαναληπτικότητας είναι ιδιότητα κλάσης, υπολογισμός χρόνου πρώτης επιστροφής και αναμενόμενου αριθμού επισκέψεων κάποιας κατάστασης μέχρι την συμπλήρωση μίας επιστροφής σε άλλη κατάσταση, εφαρμογές σε μαρκοβιανές αλυσίδες με πεπερασμένο και άπειρο χώρο καταστάσεων. Από το βιβλίο του Λουλάκη διαβάστε τις παραγράφους 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 και κάντε τις ασκήσεις 76, 77, 78, 79, 80.

11η Εβδομάδα (8, 10, 11 Mαϊου): Χρονική αντιστρεψιμότητα και ακριβής ισορροπία, εφαρμογές, τυχαίος περίπατος σε γράφημα, απεριοδικότητα και ασυμπτωτική κατανομή, εργοδικό θεώρημα. Από το βιβλίο του Λουλάκη διαβάστε τις παραγράφους 5.5, 6.2, 6.4, 6.5, 7.2 και κάντε τις ασκήσεις 81, 85, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102.

12η Εβδομάδα (15, 17, 18 Mαϊου): Εφαρμογές εργοδικού θεωρήματος, μαρκοβιανές ανελίξες συνεχούς χρόνου, ανέλιξη Poisson, κατασκευή και βασικές ιδιότητες, κίνηση Brown-ανέλιξη Wiener, κατασκευή και βασικές ιδιότητες. Από το βιβλίο του Λουλάκη διαβάστε τις παραγράφους 7.2, 8.2, και κάντε τις ασκήσεις 114, 115, 116, 117, 119. Για την κίνηση Brown κοιτάξτε την παράγραφο 4.4 του βιβλίου του Norris και για την απόδειξη ύπαρξης κοιτάξτε εδώ.