2.2 Προσέγγιση δεύτερης παραγώγου

Από τον ορισμό της δεύτερης παράγωγου της $f$ σε ένα σημείο $x_0$ έχουμε

$$f^{\prime \prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x_0+h)-f^{\prime }(x_0)}{h}.$$

Επομένως, μπορούμε να προσεγγίσουμε την $f^{\prime \prime }(x_0)$ χρησιμοποιώντας μία από τις προσεγγίσεις ${\delta }_h^{+}{f}^{\prime }(x_0)$, ${\delta }_h^{-}{f}^{\prime }(x_0)$ ή ${\delta }_h^c{f}^{\prime }(x_0)$. Αν, όμως, θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τιμές της $f$, θα πρέπει να αντικαταστήσουμε την $f^{\prime }(x_0)$ με κάποια προσέγγισή της. Έτσι, ένας τρόπος είναι

	$f^{\prime \prime }(x_0)\approx$	${\delta }_h^{+}{f}^{\prime }(x_0)={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x_0+h)-f^{\prime }(x_0)}{h}}\approx {\displaystyle \frac{{\delta }_h^{-}f(x_0+h)-{\delta }_h^{-}f(x_0)}{h}}$
	$=$	${\delta }_h^{+}{\delta }_h^{-}f(x_0).$

Από τον ορισμό των ${\delta }_h^{+}$ και ${\delta }_h^{-}$ προκύπτει ότι

	${\delta }_h^{+}{\delta }_h^{-}f(x_0)=$	${\displaystyle \frac{1}{h}}({\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}-{\displaystyle \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}})$
	$=$	${\displaystyle \frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}}.$

Επομένως, χρησιμοποιώντας την παραπάνω πεπερασμένη διαφορά μπορούμε να προσεγγίσουμε την $f^{\prime \prime }(x_0)$. Παρόμοια, μπορούμε να προσεγγίσουμε την $f^{\prime \prime }(x_0)$ ως

	$f^{\prime \prime }(x_0)\approx$	${\delta }_h^{-}{f}^{\prime }(x_0)={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x_0)-f^{\prime }(x_0-h)}{h}}\approx {\displaystyle \frac{{\delta }_h^{+}f(x_0+h)-{\delta }_h^{+}f(x_0)}{h}}$
	$=$	${\delta }_h^{-}{\delta }_h^{+}f(x_0).$

Από εδώ προκύπτει

	${\delta }_h^{-}{\delta }_h^{+}f(x_0)=$	${\displaystyle \frac{1}{h}}({\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}-{\displaystyle \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}})$
	$=$	${\displaystyle \frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}},$

δηλαδή ότι ${\delta }_h^{-}{\delta }_h^{+}f={\delta }_h^{+}{\delta }_h^{-}f$. Άρα και οι δύο παραπάνω μεθοδολογίες οδηγούν στην ίδια πεπερασμένη διαφορά για την προσέγγιση της $f^{\prime \prime }$.

Επίσης, ισχύει ότι η ίδια πεπερασμένη διαφορά προκύπτει και χρησιμοποιώντας κατάλληλα την ${\delta }_h^{c}f$. Πράγματι, έχουμε

		${\delta }_{h/2}^c{\delta }_{h/2}^{c}f(x_0)={\displaystyle \frac{{\delta }_{h/2}^{c}f(x_0+h/2)-{\delta }_{h/2}^{c}f(x_0-h/2)}{h}}$
		$\mathrm{ }={\displaystyle \frac{1}{h}}({\displaystyle \frac{f(x_0+\frac{h}{2}+\frac{h}{2})-f(x_0+\frac{h}{2}-\frac{h}{2})}{h}}-{\displaystyle \frac{f(x_0-\frac{h}{2}+\frac{h}{2})-f(x_0-\frac{h}{2}-\frac{h}{2})}{h}})$
		$\mathrm{ }={\displaystyle \frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}}.$

Συμβολίζουμε λοιπόν ${\delta }_{h,2}^{c}f$ την ακόλουθη πεπερασμένη διαφορά,

$${\delta }_{h,2}^{c}f(x_0)\equiv \frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}.$$

(2.8)

Αυτός λοιπόν ο λόγος ορίζει μια προσέγγιση της $f^{\prime \prime }(x_0)$, ο οποίος καλείται και κεντρική διαφορά για την προσέγγιση της δεύτερης παραγώγου. Άρα σύμφωνα με τα παραπάνω, θα έχουμε ότι

$${\delta }_{h,2}^{c}f(x_0)={\delta }_h^{+}{\delta }_h^{-}f(x_0)={\delta }_h^{-}{\delta }_h^{+}f(x_0)={\delta }_{h/2}^c{\delta }_{h/2}^{c}f(x_0).$$

Επίσης, με ανάλογο τρόπο όπως στο Λήμμα 2.1 μπορούμε να δείξουμε την ακόλουθη εκτίμηση του σφάλματος της προσέγγισης της $f^{\prime \prime }(x_0)$.

Στον Πίνακα 2.3 δίνουμε τιμές της προσέγγισης ${\delta }_{h,2}^{c}f(x_0)$ για τη συνάρτηση $f(x)=\ln (x)$ στο $x_0=1.1$, όπου $f^{\prime \prime }(1.1)=-1/{(1.1)}^2\approx -0.82645$, καθώς και το σφάλμα $E_{{\delta }_{h,2}^c}=|{\delta }_{h,2}^{c}f(1.1)-f^{\prime \prime }(1.1)|$ και την αντίστοιχη προσεγγιστική τάξη ακρίβειας $p$.

Χρησιμοποιώντας τις προσεγγίσεις για την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης $f$ που θεωρήσαμε, στα επόμενα κεφάλαια θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών για τη προσέγγιση της λύσης διαφορικών εξισώσεων πρώτης και δεύτερης τάξεως, καθώς και, παραδείγματος χάριν, στα ( Ακρίβης και Δουγαλής, (2013), Ακρίβης και Δουγαλής, (2005), Holmes, (2007), Richtmyer and Morton, (1967), Jovanović and Süli, (2014), Strikwerda, (2004)).