8.4 Ασκήσεις

Δείξτε ότι το αριθμητικό σχήμα

		$4{\displaystyle \frac{U_i^{j+1}-2U_i^j+U_i^{j-1}}{k^2}}={\alpha }^2({\displaystyle \frac{U_{i+1}^{j+1}-2U_i^{j+1}+U_{i-1}^{j+1}}{h^2}}$
		$\mathrm{\hspace{1em}}+2{\displaystyle \frac{U_{i+1}^j-2U_i^j+U_{i-1}^j}{h^2}}+{\displaystyle \frac{U_{i+1}^{j-1}-2U_i^{j-1}+U_{i-1}^{j-1}}{h^2}}),$
		$\mathrm{\hspace{1em}}\text{για }i=1,\mathrm{\dots },N,j=1,\mathrm{\dots },M-1,$

προσεγγίζει την εξίσωση του κύματος (8.1) και το τοπικό σφάλμα διακριτοποιήσης ${\eta }_i^j$, ικανοποιεί

$$|{\eta }_i^j|\le C(k^2+h^2),$$

με $C$ ανεξάρτητη των $k$ και $h$.

Κατασκευάστε ένα αριθμητικό σχήμα για να προσεγγίσετε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης

Βρείτε το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης. Είναι von Neumann ευσταθές$;$