Αριθμητική Λύση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων

ΜΕΜ 252 - Χειμερινό 2023

Ημερολόγιο μαθήματος

Εβδομάδα #1 (25/9/23-29/9/23)

Εισαγωγή. Προβλήματα Αρχικών Τιμών. Ύπαρξη-μοναδικότητα λύσης. Συνθήκη Lipschitz (ολική - τοπική).

Αριθμητική προσέγγιση της λύσης του ΠΑΤ με τη μέθοδο του Euler.

Εργαστήριο: Επαναλήψη python, Επαναλήψη Numpy 1 , Επαναλήψη Numpy 2 , Επαναλήψη Numpy 3, Επαναλήψη plot

Εβδομάδα #2 (2/10/23-6/10/23)

Ευστάθεια ΠΑΤ. Σύγκλιση και εκτίμηση σφάλματος της μεθόδου Euler.

Ευστάθεια μεθόδου Euler. Ολικό σφάλμα και τοπικό σφάλμα (διακριτοποίησης) μιας αριθμητικής μεθόδου. Μέθοδος Taylor (2). Πεπλεγμένη Μέθοδος Euler.

Εργαστήριο: 2ο

Εβδομάδα #3 (9/10/23-13/10/23)

Ύπαρξη και μοναδικότητα της προσεγγιστικής λύσης της πεπλεγμένης μεθόδου Euler.

Μέθοδος Τραπεζίου. Ύπαρξη και μοναδικότητα της προσεγγιστικής λύσης της πεπλεγμένης μεθόδου Euler. Άμεση μέθοδος μέσου. Πεπλεγμένη μέθοδος Simpson. Τάξη σφάλματος διακριτοποίησης. Συνεπής μέθοδος.

Τοπικό σφάλμα μεθόδων πεπλεγμένης Euler και Τραπεζίου. Ασκήσεις

Εργαστήριο: 3ο

Εβδομάδα #4 (16/10/23-20/10/23)

Σύγκλιση πεπλεγμένης μεθόδου Euler και μεθόδου τραπεζίου. Εισαγωγή στις μεθόδους Runge-Kutta. Παραδείγματα μεθόδων Runge-Kutta. Συμβολισμός και μητρώο Butcher.

Εργαστήριο: 4ο

Εβδομάδα #5 (23/10/23-27/10/23)

Τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης μιας μεθόδου Runge-Kutta. Παραδείγματα υπολογισμού τοπικού σφάλματος διακριτοποίησης μιας άμεσης μεθόδου Runge-Kutta δύο σταδίων. Ευστάθεια μεθόδων Runge-Kutta. Σύγκλιση μεθόδων Runge-Kutta.

Εργαστήριο: 5ο

Εβδομάδα #6 (30/10/23-3/11/23)

Επιλυσιμότητα μεθόδων Runge-Kutta. Ελάχιστες συνθήκες που πρεπει να ικανοποιούν οι συντελεστές μιας μεθόδου Runge-Kutta (Ακριβή ολοκλήρωση σταθερών συναρτήσεων). Ασκήσεις. Εισαγωγή στις πολυβηματικές μεθόδους.

Εργαστήριο: 6ο

Εβδομάδα #7 (6/11/23-10/11/23)

Τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης πολυβηματικών μεθόδων. Συνθήκη Συνέπειας πολυβηματικών μεθόδων. Τάξη ακρίβειας πολυβηματικών μεθόδων.

Εργαστήριο: 7ο

Εβδομάδα #8 (13/11/23-17/11/23)

Εξίσωση διαφορών και προσδιορισμός των λύσεων της. Ευστάθεια και συνθήκη των ριζών. Σύγκλιση συνεπάγεται Ευσταθή πολυβηματική μέθοδο.

1η Εργαστηριακή Εξέταση.

Εβδομάδα #9 (20/11/23-24/11/23)

Σύγκλιση-Ευστάθεια-Συνέπεια πολυβηματικών μεθόδων. Μέθοδοι Πρόβλεψης-Διόρθωσης. Ασκήσεις.

Εργαστήριο: 8ο

Εβδομάδα #10 (27/11/23-1/12/23)

Απόλυτη ευστάθεια. Περιοχή απόλυτης ευστάθειας. Α-ευσταθείς μέθοδοι. Περιοχή απόλυτης ευστάθειας μεθόδων Euler, πεπλεγμένης Euler, Τραπεζίου

Απόλυτη ευστάθεια πολυβηματικών μεθόδων. Ασκήσεις

Εργαστήριο: 9ο

Εβδομάδα #11 (4/12/23-8/12/23)

Απόλυτη ευστάθεια μεθόδων Runge-Kutta. Ασκήσεις

Προβλήματα Συνοριακών Τιμών. Μέθοδος διακριτοποίησης για ΠΣΤ.

Εργαστήριο: 10ο

Εβδομάδα #12 (11/12/23-15/12/23)

Εκτίμηση σφάλματος και σύγκλιση μεθόδου διακριτοποίησης για ΠΣΤ. Ασκήσεις

2η Εργαστηριακή Εξέταση.

Εβδομάδα #13 (18/12/23-22/12/23)

Ασκήσεις