AreaThroughDet

Εμβαδόν τριγώνου σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων

Χρησιμοποιώντας την διαίρεση του τριγώνου μέσω των ευθυγράμμων τμημάτων του επομένου σχήματος δείξε ότι το εμβαδόν του τριγώνου OAB είναι ίσο με
sin(w)*(x*y'-x'*y)/2,
όπου A(x,y), B(x',y') είναι οι συντεταγμένες των κορυφών του ως προς τις πλαγιογώνιες ευθείες του σχήματος και w είναι η γωνία των αξόνων.
Συμπέρανε ότι το εμβαδόν αυτό ισούται και με
(u'*v-v'*u)/(2*sin(w)),
όπου (u,v) είναι οι κάθετες συντεταγμένες ως προς τους δύο άξονες: δηλαδή οι προσημασμένες απόστάσεις του σημείου από τους άξονες.

Ειδικά, όταν η γωνία w = 90 μοίρες, τότε sin(w)=1 και ο τύπος δίδει το εμβαδόν ως ορίζουσα των αντιστοίχων διανυσμάτων-στηλών, που ορίζονται από τις καρτεσιανές συντεταγμένες ως προς τους ορθογώνιους άξονες:

Παίρνοντας το τρίτο σημείο C ενός τριγώνου ABC και γράφοντας τα σημεία με τις καρτεσιανές συντεταγμένες τους C(c₁, c₂), B(b₁, b₂), A(a₁, a₂) έχουμε:

Γιά τύπους ανάλογους, που δίνουν το εμβαδόν σε τριγραμμικές και βαρυκεντρικές συντεταγμένες δείτε το αρχείο Εμβαδόν σε βαρυκεντρικές .

Δείτε ακόμη

Εμβαδόν σε βαρυκεντρικές
Εμβαδόν ποδικού
Βαρυκεντρικές συντεταγμένες

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/