CircumconicGeneration

1. Κύκλου παραγωγή

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ABC και D το αντιδιαμετρικό το Α επί του περικύκλου του. Σε κάθε ευθεία διά του D θεώρησε τις τομές της {E, F, G} με τις πλευρές {BC, AB, AC} αντίστοιχα. Το τέταρτο αρμονικό αυτών των τριών σημείων συμπίπτει με το δεύτερο σημείο τομής της ευθείας με τον κύκλο.
Αντίστροφα, γιά κάθε σημείο Η του περίκυκλου And inversely η ευθεία DH τέμνει τις πλευρές του τριγώνου σε σημεία {F, G, E} έτσι ώστε (F,G,E,H) = -1.

Η απόδειξη προκύπτει άμεσα από την παρατήρηση ότι στο σημείο Η οι γωνίες BHA και AHC είναι ίσες και έχουν μέτρο 60 μοίρες. Έτσι οι ευθείες {HA, HD} είναι διχοτόμοι της γωνίας BHC συνεπώς η δέσμη H(B,C,E,I) είναι αρμονική και συνεπώς και η A(F,G,E,H) είναι επίσης αρμονική, απ' όπου και η απόδειξη.

2. Παραγωγή κωνικής

Έστω τρίγωνο ABC και περιγεγραμμένη σε αυτό κωνική (c) με προοπτικό κέντρο P. Έστω επίσης D το άλλο σημείο τομής της κωνικής με την ευθεία AP. Γιά κάθε ευθεία D έστωσαν {B',C',A'} τα σημεία τομής αυτής της ευθείας με τις πλευρές {AB, AC, BC} αντίστοιχα. Τότε το τέταρτο αρμονικό A'' αυτών των σημείων, δηλαδή το σημείο γιά το οποίο ο διπλός λόγος (B',C',A',A'') = -1, ευρίσκεται επί της κωνικής.
Αντίστροφα, γιά κάθε σημείο A'' της κωνικής η ευθεία DA'' τέμνει τις πλευρές του τριγώνου σε σημεία {A', B', C'} έτσι ώστε (B',C',A',A'') = -1.

Η απόδειξη προκύπτει από την προηγούμενη παράγραφο εφαρμόζοντας μιά κατάλληλη προβολικότητα στο σχήμα της. Η προβολικότητα αυτή F ορίζεται από την απαίτηση να απεικονίζει τις κορυφές του ισοπλεύρου στις κορυφές του γενικού τριγώνου ABC και το κέντρο του ισοπλεύρου στο προοπτικό κέντρο Ρ της κωνικής. Η F αυτή απεικονίζει τον περίκυκλο του ισοπλεύρου στην κωνική (c) και λόγω της διατήρησης του διπλού λόγου από προβολικότητες τα συμπεράσματα της προηγούμενης παραγράφου μεταφέρονται εδώ στην γενική περίπτωση.

3. Μιά ειδική περίπτωση

Δοθέντων δύο παραλλήλων ευθειών {b, c} και μιάς τρίτης ευθείας (a) που τις τέμνει, θεώρησε όλες τις ευθείες που διέρχονται από σταθερό σημείο D μη κείμενο επί των τριών ευθειών {a, b, c}. Γιά κάθε ευθεία διά του D όρισε τις τομές {A, B, C} με τις ευθείες {a, b, c} αντίστοιχα. Το τέταρτο αρμονικό E σε κάθε ευθεία, δηλαδή το σημείο γιά το οποίο (B,C,A,E) = -1 περιγράφει μιά υπερβολή.

Η ιδιότητα αυτή προκύπτει από την γενική ιδιότητα της προηγουμένης παραγράφου αφήνοντας το σημείο Α του τριγώνου ABC (του εκεί σχήματος) να πάει στο άπειρο.
Στο παρόν σχήμα, όταν το σημείο A συμπίπτει με το σημείο τομής Μ της ευθείας (a) με την μεσοπαράλληλο (m) των ευθειών {b,c} τότε το E πάει στο άπειρο, από όπου προκύπτει ότι η ευθεία DM είναι παράλληλη της ασυμπτώτου. Η άλλη ασύμπτωτος είναι προφανώς παράλληλη των ευθειών {b,c}.
Όταν το σημείο A παίρνει την θέση M' (παράλληλο της b προβολή του D επί της a) τα σημεία {B,C,E} πάνε στο ίδιο σημείο στο άπειρο. Εκτός από τα σημεία {B₀, C₀, D} από τα οποία περνά η υπερβολή γνωρίζουμε επίσης το σημείο M', που είναι η προβολή του D επί της ευθείας (m) παράλληλα προς την (a). Η θέση αυτή λαμβάνεται από το E όταν το A πάει στο άπειρο στην κατεύθυνση της a και η DA γίνεται παράλληλη της (a).
Ένα εύκολα κατασκευαζόμενο σημείο είναι και το D' επί της ευθείας διά του D που είοναι ορθογώνια στην (a). Έτσι η κωνική μπορεί να ταυτισθεί με την μοναδική που διέρχεται από τα πέντε σημεία {D, C₀, B₀, M'', D'}.

4. Προβλήματα

[1] Βρες την υπερβολή που διέρχεται από τις κορυφές ενός τραπεζίου και έχει γνωστές κατευθύνσεις ασυμπτώτων. (Θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει την ιδιότητα της προηγουμένης παραγράφου, δυστυχώς όμως αυτή πραγματεύται μόνο τραπέζια, γιά τα οποία η παράλληλος προς μίαν ασύμπτωτον από το μέσον μιάς παραλλήλου πλευράς διέρχεται από μιάν άλλη κορυφή της απέναντι πλευράς του).
[2] Το ίδιο πρόβλημα γενικώτερα γιά τετράπλευρο αντί τραπεζίου.
[3] Βρες την δομή όλων των υπερβολών που διέρχονται από τις κορυφές τραπεζίου.
[4] Το ίδιο πρόβλημα γιά ένα γενικό τετράπλευρο.

Δείτε ακόμη

Κωνικές περιγεγραμμένες τριγώνου

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/