Circumscriptible

Περιγράψιμο σε κύκλο τετράπλευρο

Ένα τετράπλευρο ABCD περιγράφεται σε κύκλο, τότε και μόνον τότε, όταν το άθροισμα μηκών δύο απέναντι πλευρών του ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο: AB+CD = BC + AD.

Άν είναι περιγράψιμο, τότε θεώρησε τα σημεία επαφής E,H,G,F και τις ισότητες ED=DH etc. γιά να δείξεις ότι AB+CD=BC+DA.
Γιά το αντίστροφο, υπόθεσε ότι AB + CD = BC + DA, και AB < AD. Τότε BC < CD, και υπάρχουν σημεία Χ στην AD και Y στην CD έτσι ώστε AX = AB και CY = BC. Τότε και DX = DY . Έστω K το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BXY . Η AK διχοτομεί την γωνία A, αφού τα τρίγωνα AKX και AKB έχουν ίσες πλευρές. Παρόμοια, οι CK και DK είναι διχοτόμοι των γωνιών C και D αντιστοίχως. Έτπαιται ότι το K ισαπέχει από τις πλευρές του τετραπλεύρου. Το τετράπλευρο δέχεται εγγεγραμμένο κύκλο κέντρου Κ. (Απόδειξη απο τις σημειώσεις του Paul Yiu: EuclideanGeometryNotes.pdf).
Δες το έγγραφο Circumscriptible_Construction.html για την κατασκευή όλων των τετραπλεύρων με δοθέντα μήκη πλευρών που ικανοποιούν και την συνθήκη: AB+CD = BC+DA = t.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/