CutUnderGivenAngle

Τομή υπό δοθείσαν γωνίαν

Δίδονται σημεία A,B και κύκλος (c). Να κατασκευασθεί κύκλος (c') διερχόμενος διά των {A,B} και τέμνων τον (c) υπό δοθείσαν γωνίαν.

Θεώρησε όλους τους κύκλους (c') διερχόμενους από το A και τέμνοντες τον κύκλο (c) υπό την δοθείσαν γωνίαν. Θεώρησε επίσης την αντιστροφή F ως προς τον κύκλο (d) με κέντρο στο Α και ορθογώνιο του (c). Με την αντιστροφή αυτή ο κύκλος (c') μετασχηματίζεται σε ευθεία F(c'). Η συνθήκη της τομής των {c',c} υπό σταθεράν γωνίαν μεταφράζεται στην εφαπτομενικότητα των ευθειών F(c') σε κύκλο c₀, συγκεντρικό του c. Το σημείο B μετασχηματίζεται μέσω της F στο B' και το πρόβλημα ανάγεται στο της εύρεσης των εφαπτομένων από το B' προς τον κύκλο c₀.

Η συζήτηση των διαφόρων δυνατοτήτων και συνθηκών ύπαρξης λύσεων είναι αρκετά απλή.

Πιό ενδιαφέρων μου φαίνεται ό τόπος των κέντρων των κύκλων (c'), που είναι μιά υπερβολή (h). Η υπερβολή (h) είναι η ομοθετική μιάς άλλης (h') που προκύπτει αντιστρέφοντας έναν λιμνίσκο (m) ως προς το A. Ο λιμνίσκος είναι η ποδική καμπύλη του κύκλου c₀ ως προς το A, δηλαδή ο τόπος των προβολών του Α επι των εφαπτομένων του c₀.
Από γνωστές ιδιότητες του λιμνίσκου (δες Λιμνίσκος ), η αντίστροφη αυτής της καμπύλης ως προς κύκλους με κέντρο το A είναι υπερβολές. Έτσι το αντίστροφο F του E κινήται επί υπερβολής h' και το G, όντας το μέσον της AF, κινήται επί ομοθετικής της h' υπερβολής h.
Αντιστρέφοντας το επιχείρημα παίρνουμε έναν χαρακτηρισμό της υπερβολής ως
τόπο των κέντρων κύκλων διερχομένων από σταθερό σημείο και τεμνόντων έναν σταθερό κύκλο (c) υπό σταθερήν γωνίαν. Το σημείο A είναι μιά εστία της υπερβολής.

Σημείωση Το παρόν θέμα ανήκει σε ένα ευρύτερο πρόβλημα που γενικεύει το γνωστό του Απολλώνιου και ζητά την κατασκευή κύκλου που τέμνει τρεις άλλους υπό δοθείσαν γωνίαν.

Δείτε ακόμη

Λιμνίσκος
Ποδική καμπύλης

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/