[alogo] 1. Διαίρεση με ίσα τμήματα

Πρόβλημα Βρες σημεία {Ι, Κ} στις πλευρές τριγώνου ABC, έτσι ώστε τα {CI, IK, KB} να έχουν το ίδιο μήκος.

[0_0] [0_1]

Έστω ότι τα {I, K} κατασκευάστηκαν, η AC είναι μικρότερη της AB και ο λόγος r = CI/CA είναι γνωστός.
Όρισε το D επί της AB, έτσι ώστε AD = AC. Η ομοιοθεσία fC,r (κέντρου C, λόγου r) απεικονίζει το D σε σημείο G, έτσι ώστε IG=IC. Άρα το BGIK θα είναι παραλληλόγραμμο και IK=IC=IG, που σημαίνει ότι θα είναι και ρόμβος. Φέρε απο το D παράλληλο της BG τέμνουσα την BC στο E. Το E είναι κατασκευάσιμο σημείο, αφού DE=DA=CA, που μέσω της fC,r απεικονίζεται στο B. Έτσι, r = CB/CE προσδιορίζεται από τα δεδομένα. Γνωρίζοντας την ομοιοθεσία fC,r η κατασκευή είναι προφανής.


[alogo] 2. Δεύτερος τρόπος λύσης

Πρόβλημα Βρες σημεία {Ι, Κ} στις πλευρές τριγώνου ABC, έτσι ώστε τα {CI, IK, KB} να έχουν το ίδιο μήκος.

[0_0] [0_1] [0_2]
[1_0] [1_1] [1_2]

Λύση από το ωραίο βιβλίο του Yaglom (δες αναφορά). Βασίζεται στην παρατήρηση ότι τα {IC, KB} όντας ίσα, θα υπάρχει μετασχηματισμός περιστροφής με κέντρο κάποιο σημείο D που πάει το ένα τμήμα στο άλλο. Το D μπορεί να προσδιορισθεί χωρίς την ακριβή γνώση των μηκών {CI, IK, ΚΒ}. Πράγματι, το κέντρο D θα πρέπει να είναι στην μεσοκάθετο του BC και τα τρίγωνα {DCI, DBK} θα πρέπει να είναι ίσα, αφού οι γωνίες στο D: (CDB) = (IDK) = (CAB). Άρα το D είναι ένα από τα σημεία τομής του περικύκλου c του ABC με την μεσοκάθετο του BC.
Το ισοσκελές DCB με γνωστή γωνία στο D έχει γνωστό λόγο πλευρών (εξαρτώμενο της γωνίας(CAB)) k = CI/ID = IK/ID = CB/DC = CB/DB. Άρα το I περιέχεται στον Απολλώνιο κύκλο του ευθυγράμμου τμήματος CD, που είναι ο τόπος των σημείων P, γιά τα οποία PC/PD = k.
Παρατήρηση Η λύση αυτή αν και φαινομενικά πιό σύνθετη από την προηγούμενη, αποκαλύπτει περισσότερη από την κρυφή δομή του σχήματος.

[alogo] 3. Σχετικό πρόβλημα κατασκευής τριγώνου

Να κατασκευασθεί τρίγωνο ABC από την γωνία του στο A και τα αθροίσματα των μηκών των πλευρών του {a+c, a+b}.


[0_0]

Κατασκεύασε πρώτα το τρίγωνο AB'C' με γωνία Α και προσκείμενες σε αυτήν πλευρές μήκους {a+c, a+b}. Κατόπιν λύσε το πρόβλημα-1 γιά αυτό το τρίγωνο.

Βιβλιογραφία

Yaglom, I. M. Geometric Transformations ΙΙ (3 τόμοι) Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1962, p. 133.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

Δημιουργήθηκε με το EucliDraw©