[alogo] Ελάχιστο εγγεγραμμένο εξάγωνο

Το ελάχιστο κατά την περίμετρο/εμβαδόν ισόπλευρο εξάγωνο DEFGHI, εγγεγραμμένο σε τρίγωνο είναι συμμετρικό. Το κέντρο του είναι το X(37). Οι πλευρές οτυ είναι παράλληλες ή τμήματα των πλευρών του τριγώνου.

[0_0] [0_1]
[1_0] [1_1]


Οι επόμενες παρατηρήσεις οφείλονται στον Νικόλαο Δεργιάδη. Οδηγούν στην ταύτιση του κέντρου του εγγεγραμμένου εξαγώνου με το κέντρο X(37) και δίδουν μιά εύκολη κατασκευή αυτού του κέντρου. Επιπρόσθετα φέρουν στο προσκήνιο ένα άλλο τρίγωνο (A*B*C*), φυσιολογικά συνδεδεμένο με το ABC και προοπτικό προς αυτό, ως προς το σημείο X(37).
Προέκτεινε τις πλευρές AB, AC στις BC', CB', έτσι ώστε BC'=BC=CB'= a. Από το C' φέρε C'B" παράλληλο και ίση της CB'= a και από το B' φέρε την B'C" παράλληλο και ίση της BC'= a. Τα τμήματα BC", CB", B'C' έχουν το ίδιο μέσον A*. Όρισε παρόμοια τα σημεία B*, C*. Η απόσταση του B από την AC είναι a*sin(C). Η απόσταση του C" από την AC έιναι a*sin(A). Άρα η απόσταση του A* από την AC είναι a*(sin(A)+sin(C))/2. Παρόμοια η απόσταση του A* από την AB είναι a*(sin(A)+sin(B))/2. Τούτο σημαίνει ότι η ευθεία AA* διέρχεται από το σημείο με τριγραμμικές συντεταγμένες (b+c : c+a : a+b) και τούτο είναι ακριβώς το X(37). Άρα τα τρίγωνα ABC, A*B*C* είναι προοπτικά και το κέντρο προοπτικότητας είναι το X(37). Δες το HexadivisionSymmetric.html , γιά την αρχή του θέματος.




Produced with EucliDraw©