Olympiad1

Πρόβλημα Ολυμπιάδος

Θεώρησε δύο τεμνόμενες ευθείες BA, BC και ευθύγραμμο τμήμα DE, που ενώνει δύο σημεία αυτών των ευθειών, αντίστοιχα. Φέρε τρίτη ευθεία FG, τέμνουσα τις BA στο G και την BC στο F, αντίστοιχα. Υπολόγισε την γωνία μεταξύ των FG και RT, όπου R, T είναι τα μέσα των DE και FG, αντίστοιχα. Δείξε ότι αυτή είναι ορθή τότε ακριβώς, όταν η BN διέρχεται από το περίκεντρο του τριγώνου BFG. Η BN είναι ο ριζικός άξων των περικύκλων των τριγώνων BDF και BEG.

Απόδειξη του Αντρέα Βαρβεράκη.
-Θεώρησε τα περίκεντρα K, J των τριγώνων BDF και BEG, αντίστοιχα. Έστωσαν DM, EL διάμετροι αυτών των κύκλων, αντίστοιχα. Οι επόμενες παρατηρήσεις ολοκληρώνουν την απόδειξη.
- Τα ορθογώνια τρίγωνα EGL, DFM είναι όμοια, καθώς οι γωνίες τους στα M, L είναι ίσες με την γωνία στο B.
- Καθώς τα E, D μεταβάλλονται στις ευθείες BC, BA αντίστοιχα, τα σημεία M, L κινούνται επί των ευθειών BM, BL, ορθογωνίων στις BA, BC αντίστοιχα.
- Τα τρίγωνα EFN, GND είναι όμοια.
- Τα τρίγωνα FND, ENG είναι όμοια.
- Το τρίγωνο RST είναι όμοιο των προηγουμένων: FND, ENG.
- Οι γωνίες FND, ENG και LBM είναι ίσες (π-β).
- Οι γωνίες SRT = NEG = NBG και STR = NDF = NBE.
- Η γωνία RTG = UTG + RTU = BFG+NBG.
- Η RT είναι ορθογώνια της FG <= > RTU = NBG = π/2 - f <= > Η BN διέρχεται από το περίκεντρο του BFG.
- Τα E, D προβάλλονται στην ML στα σημεία τομής της ML με τους κύκλους.
Όταν το μέσον R της ED είναι στην μεσοκάθετο της βάσης FG του τριγώνου, τότε η ευθεία ED εφάπτεται μιάς παραβολής, που μελετάται στο αρχείο Μεσοκαθετική παραβολή .

Δείτε ακόμη

Μεσοκαθετική παραβολή

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/