MedialParabola

1. Ιδιότητα μεσοκαθέτων τριγώνου

Θεώρησε την μεσοκάθετο DΜ, της πλευρά BC, του τριγώνου ABC. Έστωσαν K, G τα σημεία τομής της με τις πλευρές AB, AC, αντίστοιχα. Η διάμεσος AΜ του τριγώνου AGK, τέμνει τον περίκυκλο σε σημείο I, έτσι ώστε η DI να είναι ορθογώνια στην IΜ και να περιέχει το ορθόκεντρο του ABC.

Θεώρησε τον περίκυκλο (c) του ορθογωνίου BDGF. Έστω I το σημείο τομής της ΜF με αυτόν τον κύκλο. Επειδή η FD είναι μιά διάμετρος του (c), η γωνία στο I είναι ορθή. Έστω L το περίκεντρο του ABC και έστω N το σημείο τομής της AL με την ID. Τότε γων(BIN) = γων(BID) = γων(BGD) = (π/2-γων(C)) = γων(BAN). Τούτο συνεπάγεται ότι τα σημεία B, I, A και N περιέχονται στον ίδιο κύκλο και ότι η AN είναι διάμετρος του περικύκλου (d) του ABC.
Γιά τον εντοπισμό του ορθοκέντρου, θεώρησε το Η, σημείο τομής της NI και του ύψους AE. Τότε, επειδή το L είναι το μέσον της AN, το LD έχει το μισό του μήκους της AΗ. Τούτο όμως ταυτίζει το Η με το ορθόκεντρο. Σημείωσε, ότι έκ κατασκευής, η FΜ είναι αρμονική συζυγής προς το ύψος AE, ως προς τις ευθείες AB, AC.

2. Παραβολή εφαπτόμενη στις πλευρές και μία μεσοκάθετο

Κατασκευή της παραβολής, που εφάπτεται των τριών πλευρών τριγώνου ABC και της μεσοκαθέτου στην πλευρά BC.
Η κατασκευή της παραβολής βασίζεται σην ιδιότητα των εφαπτομένων της, να ορίζουν ευθύγραμμα τμήματα διχοτομούμενα από την μεσοκάθετο HD.
Πράγματι, επειδή η BC θα είναι εφαπτόμενη στην παραβολή και θα διχοτομείται από την HD, επίσης εφαπτομένη της παραβολής, το ίδιο θα ισχύει και γιά κάθε άλλη εφαπτόμενη της παραβολής (δείτε το αρχείο Παραβολής ιδιότητα εφαπτομένων ).

Σύμφωνα με γνωστές ιδιότητες των παραβολών, εφαπτομένων στις τρεις πλευρές τριγώνου, (δείτε το αρχείο Σημείο Miquel ), η εστία F της παραβολής θα περιέχεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου. Το F θα είναι το κοινό σημείο τομής των τεσσάρων περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ABC, IDC, HAI και BDH. Επί πλέον τα ορθόκεντρα αυτών των τριγώνων θα περιέχονται στην διευθετούσα της παραβολής. Τούτο ταυτίζει την διευθετούσα με την E (διερχομένη από το ορθόκεντρο του ABC). Οι παρατηρήσεις αυτές αρκούν για τον προσδιορισμό της παραβολής.
Οι παρατηρήσεις που ακολουθούν σχετίζονται με το σχήμα της προηγουμένης παραγράφου. Το F είναι συμμετρικό προς το κοινό σημείο Ε του περικύκλου του ABC με την ευθεία EJ, ενούσα το μέσον J της HI με το A. Το E περιέχεται στην διευθετούσα DG και το JE ισούται με το JF, και είναι ορθογώνιο στην διευθετούσα. Άρα το σημείο J είναι σημείο της παραβολής. Αυτό ταυτίζει το J με το σημείο επαφής της μεσοκαθέτου HD με την παραβολή. Επίσης το AJ είναι παράλληλο προς τον άξονα συμμετρίας της παραβολής.
Η παραβολή που μελετάμε εδώ συνδέεται με το πρόβλημα που εξετάζεται στο Ολυμπιάδος πρόβλημα . Εκεί θεωρούμε ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν σημεία των πλευρών AB, AC αντίστοιχα, έτσι ώστε τα μέσα αυτών των τμημάτων να περιέχονται στην ευθεία HD. Όλα αυτά τα τμήματα εφάπτονται της παραβολής.

Δείτε ακόμη

Παραβολής ιδιότητα εφαπτομένων
Σημείο Miquel
Ολυμπιάδος πρόβλημα

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/