ParametricCubic

Παραμετρική κυβική

Δοθέντων τεσσάρων σημείων A, B, C, D, ορίζεται η παραμετρική κυβική καμπύλη p(t) = A + Bt + Ct^2 + Dt^3. Τα σημεία, εκτός του A, δεν είναι, εν γένει, πάνω στην καμπύλη. Ελέγχουν ωστόσο το σχήμα της. Η παρούσα κυβική λ.χ. ορίζεται από τις κορυφές ενός παραλληλογράμμου. Το σχήμα της ελέγχεται από το σχήμα και την θέση του παραλληλογράμμου. Μάλιστα η κυβική διέρχεται πάντοτε από το (0,0). Το σχήμα και η εξάρτηση από το παραλληλόγραμμο κατασκευάζονται στο EucliDraw μέσω ενός [εργαλείου-χρήστη]. Το αντίστοιχο σκριπτ περιέχεται στο αρχείο [EUC_Scripts \ EUC_User_Tools \ ParamCubicTool].

Θα ήταν πιό ενδιαφέρον να σχεδιασθεί μιά κυβική που διέρχεται από τα τέσσαρα σημεία. Ποιός όμως είναι ο διακεκριμένος τρόπος γιά να γίνει κάτι τέτοιο; Αν στην προηγούμενη παραμετρική παράσταση p(t), απαιτήσουμε p(t1) = p1, p(t2) = p2, κτλ., τότε προκύπτει ένα γραμμικό σύστημα που εκφράζει τα p1, p2, ... συναρτήσει των A, B, C και D. Οι συντελεστές του συστήματος είναι οι δυνάμεις των t1, t2, ... και ο πίνακας του συστήματος είναι ειδική περίπτωση του γνωστού Vandermonde. Μιά τέτοια κυβική, σχεδιασμένη πάλι με [εργαλείο-χρήστη], δίδεται στο έγγραφο CubicFitting4.html . Σ' αυτό, η κυβική διέρχεται από 4 σημεία γιά τιμές των παραμέτρων 0, 1, 2, 3 και το σκριπτ χρησιμοποιεί τον αντίστροφο του αντίστοιχου πίνακα Vandermonde.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/