PentagonEquilateral

Κατασκευή ισοπλεύρου πενταγώνου

Δοθέντος του μήκους πλευράς ισοπλεύρου πενταγώνου DEFGH και των γωνιών ενός πλευρικού τριγώνου του (σχηματιζομένου από τις προεκτάσεις τριών διαδοχικών πλευρών του), ορίζεται ένα το πολύ πεντάγωνο. Παρακάτω υποθέτουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι η γωνία α <= 60 degrees.

Τα τρίγωνα EFL, GHM, FGO είναι ισόπλευρα. Τα τετράπλευρα FGKE και FGHJ είναι ρόμβοι. Οι κορυφές τους ορίζουν το παραλληλόγραμμο EJHK.

α) Τα τρίγωνα HMK και ELJ είναι ίσα, ως έχοντα EL=MH, EJ=KH και την γωνία(MHK) = (1/2)γωνία(MGK) =(1/2)(π/3 - γωνία(KGH)) = (π/6)-(γωνία(A))/2 = φ. Παρόμοιος υπολογισμός δείχνει ότι αυτή γωνία ισούτε με την JEL. Σημείωσε ότι οι γωνίες του MKH είναι γνωστές. Η γωνία(MKH) είναι 150 μοιρών. Έτσι, δοθέντος του μήκους DE=EF=κτλ. το τρίγωνο MKH κατασκευάζεται.

β) Το τρίγωνο OMJ είναι ισόπλευρο. Πράγματι MJ=JO, αφού τα τρίγωνα MJH=OFJ, ως έχοντα ίσες πλευρές και γωνίες στα H και F ίσες με π/3 - γωνία(JHG) = π/3 - γωνία(JFG)= γωνία(OFJ). Έτσι το OJM είναι ισοσκελές. Επίσης γωνία(OJG) = γωνία(MJG) = 150 μοίρες, ούσα η γωνία επί τόξου με επίκεντρο γωνία π/3. Άρα γωνία(OJM)=π/3 και το OJM είναι ισόπλευρο.

γ) Το τρίγωνο OKL είναι ισόπλευρο. Τούτο διότι OM=OJ (από β) και MK=JL (από α), οι πλευρές OL και OK είναι ίσες. Έτσι, επειδή το LEK είναι επίσης ισοσκελές, η EO είναι διχοτόμος της LEK. Όμως EOK = 150 Μοίρες. Άρα η γωνία στο O είναι π/3, το οποίο δείχνει ότι το OKL είναι ισόπλευρο.

d) Τα K, L, Q είναι επ' ευθείας. Επειδή η γωνία(OLQ)=γωνία(OGQ)=(2π/3) και (από γ) γωνία(OLK)=π/3. Τα M, J, Q είναι επ' ευθείας για ανάλογο: γωνία(OJQ)=(2π/3) και (από β) γωνία(OJM)=π/3. Επίσης γωνία(MQK) = γωνία(MHK) = (1/2)γωνία(MGK)= (π/6)-(γωνία(A)/2) = x. Παρόμοιος συλλογισμός δείχνει ότι τα K, O, R είναι επ' ευθείας και τα O, J, P είναι επίσης επ' ευθείας. Επιπλέον η γωνία(KOJ)=γωνία(MOJ)-γωνία(MOK)= (π/3)-γωνία(MHK) = π/3-x = (π/6)+(γωνία(A)/2). Το τρίγωνο RKQ είναι ισόπλευρο. Το F βλέπει την RO και την LQ υπό ίσες γωνίες. Το JPQ είναι επσης ισόπλευρο.

Δοθέντος του μήκους t του DE=EF= κτλ. και της γωνίας στο A, το ισοσκελές τρίγωνο EFG κατασκευάζεται, αφού οι γωνίες του και η πλευρά EF είναι γνωστά. Κατόπιν κατασκευάζεται ο ρόμβος EFHJ και το ισοσκελές τρίγωνο EHD. Τούτο συμπληρώνει την κατασκευή του πενταγώνου.

Σημείωση για την κινησομοίωση: Τα σημεία G, Κ και X είναι ελεύθερα μετααβλητά (εργαλείο επιλογής: ctrl+1). Μετατοπίζοντας τα G και K αλλάζει μόνον το μήκος t = (DE) και αλλάζει το σχήμα καθ' ομοιότητα. Μετατοπίζοντας το X αλλάζει την γωνία β και μεταβάλλει την μορφή του σχήματος.
Το Y μεταβάλλεται μέσω του εργαλείου [Επιλογή στο σύνορο] (ctrl+2). Μετατοπίζοντάς το αλλάζει η γωνία α και η μορφή του σχήματος. Δες το Pentadivision.html γιά μιά ενδιαφέρουσα εφαρμογή.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/