Pentadivision

Πενταδιαίρεση

Υπάρχουν άπειρα ισόπλευρα πεντάγωνα IJKLM, εγγεγραμμένα στο τρίγωνο ABC, όπως στο σχήμα.

Ουσιαστικά όλα αυτά τα πεντάγωνα παραμετροποιούνται από την γωνία ψ, που ορίζει την κλιση της πλευράς IJ προς την AB. Παίρνοντας το D αυθαίρετα στην AB και φέροντας την DE παράλληλο της NO (που υλοποιεί την ψ), ευρίσκομε το E. Κατόπιν από το D και E τοποθετούμε τμήματα ίσα προς το DE, ευρίσκοντας τα σημεία H και F. Κατασκευάζουμε κατόπιν το ισοσκελές με βάση το HF και πλευρές HG=GF=DE. Τούτο ολοκληρώνει την κατασκευή ενός ισόπλευρου πενταγώνου DEFGH. Το μόνο μειονέκτημα του πενταγώνου είναι ότι το G δεν περιέχεται στην BC, εν γένει. Το κλειδί για τα περαιτέρω είναι ότι όλα τα πεντάγωνα που κατασκευάζονται έτσι, ξεκινώντας από αυθαίρετο σημείο D της AB, όμοια μεταξύ τους και οι κορυφές τους G περιέχονται σε ευθεία [AL]. Τούτο ορίζει το σημείο L στην πλευρά BC, η οποία, με την σειρά της, ορίζει το πεντάγωνο IJKLM. Το τελευταίο π.χ. θεωρώντας την ομοθεσία με κέντρο A και λόγο k = ML/HG, την οποία εφαρμόζουμε στο πεντάγωνο DEFGH. Η ύπαρξη του G εξαρτάται από την εγκυρότητα της HF < 2DE.

Σημείωση στην κινησομοίωση: Τα σημεία A, B, C είναι ελεύθερα μεταβλητά (ενργοποιώντας το εργαλείο επιλογής: ctrl+1). Μετατοπίζοντάς τα αλλάζει το σχήμα του τριγώνου. Τα σημεία N, O και D είναι μεταβλητά μέσω του εργαλείου [Επιλογή στο σύνορο] (ctrl+2). Μετατοπίζοντας τα N, O αλλάζει η γωνία ψ. Μετατοπίζοντας το D αλλάζει το DEFGH καθ' ομοιότητα.
Το εδώ διαπραγματευόμενο θέμα είναι μέρος ενός γενικοτέρου προβλήματος, που ξεκινά στο έγγραφο DivisionProblem.html .

Γιά τον προσδιορισμό όλων των ισοπλεύρων πενταγώνων εγγεγραμμένων σε τρίγωνο, θα μπορούσε κανείς να αρχίσει ερευνόντας πως κατανέμονται οι κορυφές τους στις πλευρές του τριγώνου. Η παρούσα περίπτωση είναι η πιό ουσιαστική, γιά την οποία η κατανομή είναι (2,2,1). Υπάρχει επίσης η περίπτωση (1,1,3), που είναι εκφυλισμένη. Το πεντάγωνο έχει τρεις από τις κορυφές του σε μιά πλευρά του τριγώνου και εφκυλίζεται σε ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο με τρεις πλευρές ίσες, λ.χ. με t, και την άλλη πλευρά ίση με 2t. Τούτο εξετάζεται στο PentadivisionDegenerate.html .

Για μιά ανάλογη συζήτηση περί εγγεγραμμένων εξαγώνων δες το έγγραφο Hexadivision.html .

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/