[alogo] Ο χώρος των μοδίων των μη συσχετισμένων τετραπλεύρων

Είναι γνωστό ότι μιά προβολικότητα (ή ομογραφία) καθορίζεται από τέσσαρα σημεία και τις αντίστοιχες εικόνες τους. Μιά προβολικότητα που αφήνει αναλλοίωτο (ως σύνολο) την ευθεία στο άπειρο λέγεται (γραμμική) [συσχέτιση]. Η γενικώτατη συσχέτιση καθορίζεται μέσω ενός παραλληλογράμμου και της εικόνας του. Ένα φυσικά εγειρόμενο ερώτημα είναι αυτό της ταξινόμησης των μη-συσχετισμένων τετραπλεύρων. Έδώ αναλύουμε μιά απλή εικόνα που παριστάνει τον χώρο των μοδίων [δηλ. έναν χώρο, κάθε σημείο του οποίου παριστά μιά ολόκληρη κλάση ισοδυνάμων αντικειμένων, ως προς μιά σχέση ισοδυναμίας] μιάς ταξινόμησης όλων των κυρτών τετραπλεύρων ως προς γραμμικούς συσχετισμούς.

[0_0] [0_1] [0_2]


Θεώρησε τετράπλευρο q = (ABCD) και το σημείο E τομής των διαγωνίων του. Πάρε και το σταθερό τετράγωνο s = (NOPQ). Φέρε κατόπιν τις διαγώνιους και σχημάτισε τα παραλληλόγραμμα (AEGD), (DFCE), ... παίρνοντας τα συμμετρικά του E ως προς τα μέσα των πλευρών του q. Όρισε τον γραμμικό συσχετισμό F που απεικονίζει το παραλληλόγραμμο p = (FGHI) στο τετράγωνο s (γιά μιά ορισμένη διάταξη κορυφών). Η F απεικονίζει το q σε κάποιο [ορθοδιαγώνιο] τετράπλευρο q* = (JKLM) εγγεγραμμένο στο s. Οι διαγώνιοι του q* είναι ίσες και παράλληλοι των πλευρών του s. Μη ισομετρικά εγγεγραμμένα ορθοδιαγώνια, όπως αυτό το q*, δεν μπορούν να είναι εικόνες συσχετισμένων τετραπλεύρων. Πράγματι, σε μιά τέτοια περίπτωση, πηγαίνοντας πίσω, από το τετράγωνο και επιστρέφοντας σε αυτό, μέσω συνθέσεως των σχετικών συσχετισμών, θα παίρναμε συσχετισμό μεταξύ των δύο ορθοδιαγωνίων που αφήνει σταθερές τις κορυφές του τετραγώνου. Τούτο όμως είναι αδύνατον, αφού ο μόνος συσχετισμός που αφήνει σταθερές τις κορυφές του τετραγώνου είναι ο ταυτοτικός.
Τούτο συνεπάγεται ότι κάθε κλάση συσχετισμένων μεταξύ τους τετραπλεύρων ορίζει ένα σημείο Τ μέσα στο τετράγωνο. Επίσης το q* είναι ένας κανονικός αντιπρόσωπος αυτής της κλάσης. Παίρνοντας υπόψη μας τις συμμετρίες του τετραγώνου, βλέπουμε ότι ο χώρος των μοδίων των κλάσεων συσχετισμένων τετραπλεύρων είναι το τρίγωνο RSO.
Ειδικά, το R παριστά την κλάσση όλων των παραλληλογράμμων (είναι όλα συσχετισμένα μεταξύ τους). Το τμήμα RS παριστά όλες τις κλάσεις τετραπλεύρων που έχουν μιά διαγώνιο να διχοτομείται από την άλλη (τότε η XY είναι παράλληλος της διχοτομουμένης διαγωνίου). Τέλος το τμήμα RO παριστά όλες τις κλάσεις τραπεζίων.
Ο μικρός υπολογισμός υποδεικνύει ότι το T ορίζεται από τον λόγο των τμημάτων των διαγωνίων που ορίζεται από το σημείο τομής των Ε.
Δες το έγγραφο Orthogonal_Diagonals.html γιά κάποια γενικά συμπεράσματα που αφορούν ορθοδιαγώνια τετράπλευρα.

Produced with EucliDraw©