Orthogonal_Diagonals

Ορθογώνιες διαγώνιοι

Δοθέντος ορθογωνίου s = (ABCD) και σημείου E στο εσωτερικό του, θεώρησε το τετράπλευρο q = (FGHI), του οποιου οι κορυφές προκύπτουν από το E δι' ανακλάσεως στις πλευρές του s. Το τετράπλευρο q λέγεται ορθοδιαγώνιο και έχει μεταξύ άλλων τις ιδιότητες:
[1] Οι διαγώνιοι του q τέμνονται στο E, είναι ορθογώνιοι και διπλού μήκους, από αυτό των παραλλήλων πλευρών του s.
[2] Οι κορυφές του s είνια τα μέσα των πλευρών του q.
[3] Το εμβαδόν του q είναι το διπλάσιο του εμβαδού του s.
[4] Όλα τα κυρτά ορθοδιαγώνια τετράπλευρα κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο.
[5] Τα μέσα των πλευρών ενός ορθοδιαγωνίου τετραπλεύρου περιέχονται σε κύκλο.

[6] Οι μεσοκάθετοι των πλευρών του q σχηματίζουν άλλο ορθοδιαγώνιο q' με διαγωνίους παράλληλες σε αυτές του q.
[7] Τα σημεία τομής των διαγωνίων των q και q' είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο O του s.
[8] Επανάλαβε την κατασκευή του [7] για το q', που οδηγεί στο ορθοδιαγώνιο q'' = PQRS.
[9] Το q'' είναι όμοιο του q.
[10] Τα q' και q'' είναι προοπτικά του q ως προς σημείο U, περιεχόμενο στην ευθεία EV, όπου τοV είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του q''. Οι κορυφές των q' και q'' περιέχονται σε ευθείες διά του U. Το q'' είναι αντι-ομοιόθετο του q.
[11] Οι προβολές του E στις πλευρές του q περιέχονται σε κύκλο με κέντρο T. Το T είναι το μέσον της EU.
[12] Επαναλαμβάνοντας την κατασκευή του (7) στο q'' πέρνουμε το q(3) και συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο, κατασκευάζουμε ακολουθία ορθοδιαγωνίων q(n). Βάζοντας q(0) = q, q(1) = q' and q(2) = q'' έχουμε μιά ακολουθία που αποτελείται από δύο υπακολουθίες {q(2n)} και {q(2n+1)} ομοίων ορθοδιαγωνίων τετραπλεύρων με παράλληλες πλευρές, συγκλινόντων στο σημείο U.
Μερικές ιδιότητες αυτών των τετραπλεύρων, σχετιζόμενες με το (11), εξετάζονται στο αρχείο Orthodiagonal.html .
Δες το έγγραφο QuadModuli.html γιά μιά ενδιαφέρουσα εφαρμογή ταξινόμησης όλων των (κυρτών) τετραπλεύρων με την βοήθεια των ορθοδιαγωνίων με ίσες διαγώνιους.

Δείτε ακόμη

Orthodiagonal.html
QuadModuli.html

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/