RadicalAxis

1. Ριζικός άξονας δύο κύκλων

Ο ριζικός άξονας δύο κύκλων {a,b} είναι ο γεωμετρικός τόπος (ευθεία r) των σημείων πού έχουν την ίδια δύναμη ως προς τους δύο κύκλους. Ο τόπος αυτός συμπίπτει με τον τόπο των κέντρων των κύκλων που είναι ταυτόχρονα ορθογώνιοι προς τους δύο κύκλους. Συγκεντρικοί κύκλοι δεν έχουν πραγματικό ριζικό άξονα (ο ριζικός τους άξονας συμπίπτει με την ευθεία στο άπειρο).
Από σημεία του ριζικού άξονα ευρισκόμενα εκτός των δύο κύκλων άγονται ίσες εφαπτόμενες προς αυτούς.

Κάθε σημείο D του ριζικού άξονα που ευρίσκεται εκτός και των δύο κύκλων ορίζει τέσσερις άλλους κύκλους ταυτόχρονα εφαπτόμενους στούς κύκλους a και b, στα σημεία επαφής των εφαπτομένων από το D. Αυτό μπορεί να διαβασθεί και αλλοιώς:
Όταν ένας κύκλος εφάπτεται ταυτόχρονα δύο άλλων {a,b} τότε οι κοινές εφαπτόμενες στα σημεία επαφής του με τους {a,b} συντρέχουν σε σημείο του ριζικού άξονα των {a,b}.
Ο επόμενος υπολογισμός δίδει τις αποστάσεις |AC|, |CB| και τον λόγο τους.
|AC| + |CB| = d,
AC² - CB² = AD² -DB² = r1² - r2².
d1 = |AC| = (d²+ r1²-r2²)/(2*d),
d2 = |CB| = (d²+ r2²-r1²)/(2*d).
AC/CB = (d²+ r1²-r2²)/(d²+ r2²-r1²) = (1+k)/(1-k), όπου
k = (r1² - r2²)/d².

2. Τα μέσα των κοινών εφαπτομέων

Τούτη είναι μιά συνέπεια του ορισμού. Τα μέσα των τεσσάρων κοινών εφαπτομένων δύο κύκλων κειμένων εκτός αλλήλων περιέχονται στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων άρα είναι συγγραμμικά.

3. Κατασκευή του ριζικού άξονα

Δοθέντων δύο μη-συγκεντρικών κύκλων c₁(O₁,r₁), c₂(O₂,r₂), μιά κατασκευή του ριζικού τους άξονα έχει ως εξής:
[1] Γράψε αυθαίρετο κύκλο (c) που τέμνει και τους δύο {c₁, c₂} κατά μήκος των ευθειών {L₁, L₂} αντίστοιχα.
[2] Πρόβαλλε το σημείο τομής A των {L₁, L₂} στο σημείο Β της ευθείας O₁O₂. Ο ριζικός άξονας είναι η ευθεία AB.

4. Μιά ιδιότητα του ριζικού άξονα

Δίδονται σημεία A,B και κύκλος c(O,r). Ο ριζικός άξονας L_d του κύκλου (c) και ενός οιουδήποτε κύκλου d(O',r') διερχομένου διά των {A,B} περνά από σταθερό σημείο D της ευθείας AB.

Πράγματι, το να είναι το D επί του ριζικού άξονα των δύο κύκλων σημαίνει : (DA*DB) = (DI*DJ) =>
(DF + FA)*(DF - FA) = (DO + OJ)*(DO - OJ) =>
DF² - FA² = (DO²) - OJ² = (DE²+EO²) - OJ² =>
DF² - DE² = FA² + EO² - OJ².
Επειδή τα σημεία F, E είναι σταθερά, η δεξία πλευρά της εξίσωσης είναι σταθερά, συνεπώς και η θέση του D σταθερή.

5. Εφαρμογή σε πρόβλημα του Απολλώνιου

Να κατασκευασθεί κύκλος (d) διερχόμενος από δοθέντα σημεία {A,B} και εφαπτόμενος δοθέντος κύκλου c(O,r).

Ο ζητούμενος κύκλος θα ανήκει στην δέσμη των κύκλων που διέρχονται διά των {A,B}, άρα ο ριζικός άξονας αυτού και του c θα διέρχεται από γνωστό σημείο D. Εάν το Q είναι το σημείο επαφής των {c,d} τότε η κοινή τους εφαπτόμενη σε αυτό θα περνά και αυτή από το D. Άρα γιά την κατασκευή του (d) προσδιόρισε πρώτα το D και φέρε εφαπτόμενες στον c(O,r) από το D.

Γιά την κατασκευή του D γράψε αυθαίρετο κύκλο (d₀) διερχόμενο διά των {A,B} και τέμνοντα τον (c) σε σημεί C. Το D είναι η τομή της κοινής χορδής CD των δύο κύκλων {d₀, c}.
Από το D φέρε εφαπτόμενες του c και θεώρησε τα σημεία επαφής τους {E,E'}. Οι ζητούμενοι κύκλοι είναι οι διερχόμενοι από τα σημεία {Α,Β,Ε} και {ΑΒΕ'}.
Υπάρχουν δύο λύσεις, όταν και τα δύο σημεία {A,B} είναι εντός/εκτός του c ή καμία λύση όταν δεν ισχύει αυτή η συνθήκη.

5. Ριζικός άξονας και κέντρα ομοιοθεσίας

Δίδονται δύο κύκλοι c₁(O₁,r₁), c₂(O₂,r₂) και σημείο D επί του ριζικού τους άξονος και εκτός αυτών. Φέρε εφαπτόμενες DA, DB, DC, ... στους κύκλους. Οι ευθείες που ορίζονται από τα σημεία επαφής AB, AC, ... διέρχονται δι' ενός των κέντρων ομοιοθεσίας I, J των δύο κύκλων.

Αυτό φαίνεται, λ.χ. στην περίπτωση της AC, θεωρώντας το άλλο σημείο τομής A' του c₁ με την ευθεία AC και την εφαπτόμενη σε αυτό που τέμνει την AD στο A*. Ισχύει A*A = A*A' και DA = DC από την ιδιότητα του ριζικού άξονα. Άρα τα τρίγωνα A*AA' και DAC είναι ισοσκελή και η A*A είναι παράλληλος της DC, άρα οι O₁A' και O₂C είναι παράλληλοι. Τούτο συνεπάγεται ότι η AC διέρχεται από το κέντρο ομοιοθεσίας που χαρακτηρίζεται από την εξίσωση JO₁/JO₂ = r₁/r₂.

Δείτε ακόμη

Απολλώνιου πρόβλημα

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/