ReflectingOnPolygonSides

Ανακλάσεις στις πλευρές πολυγώνου

Παίρνοντας την σύνθεση f διαδοχικών ανακλάσεων στις πλευρές ενός γενικού τετραπλεύρου EFGH παράγεται μιά στροφή R(O, φ). Όπου O και φ εξαρτώνται από το τετράπλευρο.
O είναι το μοναδικό σταθερό σημείο της f. Έτσι, για δοθέν γενικό τετράπλευρο EFGH, υπάρχει ένα μοναδικό άλλο τετράπλευρο IJKO, του οποίου οι μεσοκάθετες των πλευρών του είναι φορείς των πλευρών του δοθέντος τετραπλεύρου σε μιά ορισμένη διάταξη. Εδώ κάνουμε ανακλάσεις στις πλευρές e, f, g, h μ' αυτήν την σειρά. Υπαρχουν 24 άλλες δυνατές μεταθέσεις αυτών των γραμμάτων και κάθε μιά τους οδηγεί σε ένα τετράπλευρο. Άρα συνολικά 24 τετράπλευρα με την αναφερθήσα ιδιότητα.
Είναι όλ' αυτά διαφορετικά μεταξύ τους;
Πως κατασκευάζεται γρήγορα το κέντρο Ο;
Οι δύο ερωτήσεις συνδέονται μεταξύ τους. Για το πως, δείτε την απάντηση παρακάτω.

Ας συμβολίσουμε με (efgh) την διάταξη αυτών των ανακλάσεων. Οι μερικές συνθέσεις (ef) και (gh) είναι στροφές, άρα μπορούν να παρασταθούν με κάποιες άλλες ανακλάσεις (e'f') και (f'h'). Προς τούτο αρκει οι γωνίες <(e'f') και <(f'h') να είναι ίσες με τις αντίστοιχες <() και <() και να έχουν αντίστοιχα τις ίδιες κορυφές. Απ' την παρατήρηση αυτή έπεται η κατασκευή του Ο ως τομής των e' και f' .
Ας θεωρήσουμε τώρα την διάταξη (fehg) και ας κάνουμε την αντίστοιχη κατασκευή. Τούτο δίδει το τρίγωνο EGH στην διαγώνιο EG, που είναι συμμετρικό του EGO ως προς αυτήν την διαγώνιο. To J είναι το αντίστοιχο κέντρο-περιστροφής και αν κάνουμε τις ανακλάσεις μ' αυτήν την σειρά (fegh),παίρνουμε το ίδιο τετράπλευρο IJKO με αντίθετο προσανατολισμό.
Εν γένει βλέπουμε ότι οι ανακλάσεις κατά την διάταξη (efgh) και τις άλλες 3 κυκλικές μεταθέσεις των γραμμάτων, καθώς και της (fehg) και τις αντίστοιχες 3 κυκλικές μεταθέσεις, ορίζουν όλες κέντρα περιστροφής που είναι κορυφές του τετραπλεύρου IJKO. Άρα 8 από τα 24 τετράπλευρα συμπίπτουν.
Ένα ανάλογο επιχείρημα δείχνει ότι, τελικά, μόνον 3 διαφορετικά τετράπλευρα είναι δυνατά, έτσι ώστε οι μεσοκάθετοι των πλευρών τους να είναι φορείς των πλευρών του αρχικού τετραπλεύρου.

Δείτε την τελική εικόνα: Ανακλάσεις στις πλευρές τετραπλεύρου

Δείτε ακόμη

Ανακλάσεις στις πλευρές τετραπλεύρου

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/