SimsonGeneral

Γενικευμένη ευθεία Simson

Από σημείο J του περικύκλου τριγώνου ABC φέρε ευθείες σε γωνία (φ) ως προς τις πλευρές του τριγώνου. Τα σημεία τομής H, I, G, αυτών των ευθειών με τις αντίστοιχες πλευρές του τριγώνου είναι επ' ευθείας, εξαρτώμενης από την θέση του J. Για φ = π/2, η ευθεία αυτή είναι η γνωστή ευθεία Wallace-Simson.

Από τον τρόπο ορισμού τους, τα τετράπλευρα JIGA, JIBH και JGCH είναι κυκλικά. Σύγκρινε τις γωνίες: γων(JGI) = γων(JAI) και γων(JGH) = γων(JCH). Όμως A, B, C, J ομοκυκλικά = > γων(JAI) = γων(JCB) = γων(JCH). Άρα τα G, I και H είναι επ' ευθείας.

Κατά το θεώρημα του Miquel (δες το Miquel_Point.html ) τα κέντρα N, M, L και O, των κύκλων, καθώς και το J είναι επί κύκλου και το τρίγωνο JKL είναι σταθερό ισοσκελές, ανεξάρτητο της θέσης του J επί του περικύκλου του ABC. Οι γωνίες ψ στην βάση του είναι συμπληρωματικές της γωνίας φ. Το άλλο σημείο τομής P του περικύκλου με τον κύκλο Miquel (το P συμμετρικό του J ως προς KL) έχει ευθεία Simson την [QR] παράλληλο της γενικευμένης ευθείας Simson [HI].

Η περιβάλλουσα των ευθειών Simson του ABC είναι ένα γνωστό δελτοειδές. Η περιβάλλουσα των γενικευμένων ευθειών Simson [HI] είναι επίσης δελτοειδές. Και τα δύο δελτοειδή απεικονίζονται στο SimsonGeneral2.html .

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/